W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Stała siła F = (20, −15, −10) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(4, −2, −3) do punktu B(−2, 1, 5). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.
F = (20, −15, −10) NA(4, −2, −3) mB(−2, 1, 5) m
W = J
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Dla a = (6, −2, 1) i b = (−4, 4, −6) znajdź składową x, czyli (a × b)x, iloczynu wektorowego a × b.
a = (6, −2, 1)b = (−4, 4, −6)
(a × b)x =
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory RA.
L = 6 mP1 = 20 kN w 2,5 mP2 = 40 kN w 3 m
RA = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 8 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 8 m do swobodnego końca w 10 m. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 8 mAC = 10 mP = 20 kN w 1 mw = 10 kN/m od 8 do 10 m
RB = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 25 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
B: 40 kN ↓D: 10 kN ↓F: 40 kN ↓F: 15 kN →
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC
7.Ramy i maszynyŚredni
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 3,6 m, a poziomy ściąg DE jest 1,2 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 10 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 10 kNAB = 3 mwysokość C = 3,6 mwysokość DE = 1,2 m
C = kN
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 2 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4,5 m i poziomym ściągiem DE 1 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 0,6 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 12 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.
P = 12 kNAB = 2 mwysokość C = 4,5 mwysokość DE = 1 modległość pozioma od A do K = 0,6 m
C = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Wspornik jest utwierdzony w A. Przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej długości oraz siłę skupioną P w odległości 2 m od A. Wyznacz moment zginający MA w utwierdzeniu A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 2 mP = 35 kN w 2 mw = 10 kN/m od 0 do 2 m
MA = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.
15 kN @ 0 m30 kN @ 6 m45 kN @ 2 m6 kN/m, 1–4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Wyznacz moment bezwładności Ix przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.
bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 40 MPa przy rozciąganiu i 100 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy dodatni moment zginający Mallow, jaki może przenieść belka.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Przemieszczenie
d = B − A = (−2, 1, 5) − (4, −2, −3) = (−6, 3, 8) m
Praca
W = F·d = 20·(−6) + (−15)·3 + (−10)·8 = −245 J
Odpowiedź
W = −245 J
Praca ujemna: siła działa głównie przeciwnie do ruchu.
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: (a × b)x = 8
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Iloczyn wektorowy, składowa po składowej
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·(−6) − 1·4 = 8
(a × b)y = azbx − axbz = 1·(−4) − 6·(−6) = 32
(a × b)z = axby − aybx = 6·4 − (−2)·(−4) = 16
Żądana składowa
(a × b)x = 8
Odpowiedź
(a × b)x = 8
Sprawdzenie: a × b jest prostopadły do obu wektorów, więc jego iloczyn skalarny z a i z b jest równy zero.
3.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RA = 31,67 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.
Schemat sił
Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·6 = 20·2,5 + 40·3
RB = 170/6 = 28,33 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 28,33 = 31,67 kN
Odpowiedź
RA = 31,67 kN
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 25 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Wypadkowa obciążenia ciągłego
W = 10·2 = 20 kN, x̄ = (8 + 10)/2 = 9 m
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·8 = 20·1 + 20·9
RB = 200/8 = 25 kN
RA = 40 − 25 = 15 kN
Odpowiedź
RB = 25 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt CG
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł C
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł G
FG i GH leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Siła w ściągu z nogi BC
By = 5 kN
T = 5·1,5/2,4 = 3,125 kN
Składowe siły w przegubie na BC
Cx = T = 3,125 kN, Cy = −By = −5 kN
Długość
C = √(3,125² + 5²) = 5,896 kN
Odpowiedź
C = 5,896 kN
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: C = 3,744 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Reakcja podpory w B
By = 12·0,6/2 = 3,6 kN
Siła w ściągu
T = 3,6·1/3,5 = 1,029 kN
Siła w przegubie na BC
Cx = 1,029 kN, Cy = −3,6 kN
C = √(1,029² + 3,6²) = 3,744 kN
Odpowiedź
C = 3,744 kN
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: MA = −90 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Zostaw część ze swobodnym końcem
P: −35·2 = −70 kN·m
w: −10·2²/2 = −20 kN·m
MA = −70 − 20 = −90 kN·m
Odpowiedź
MA = −90 kN·m
Wartość ujemna oznacza moment ujemny: rozciągane są górne włókna.
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: E (x = 4 m)
Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.
Reakcje podpór
Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.
R1 = 39 kN, R2 = 69 kN
Moment zginający w każdym punkcie
Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.
MA = 0, MB = −15, MC = 6, MD = −24, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0
Odpowiedź
Punkt E: ME = −60 kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 52,63 × 10⁶ mm⁴
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.
Podziel na dwa prostokąty
Mierz każde y od dolnej krawędzi.
półka: Af = 240·15 = 3600 mm², yf = 280 + 15/2 = 287,5 mm
środnik: Aw = 10·280 = 2800 mm², yw = 280/2 = 140 mm
Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.