Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź wartość k, dla której wektory a = (2, 5, −1) i b = (k, −3, −6) są prostopadłe.

a = (2, 5, −1)b = (k, −3, −6)

k =

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Siła F = (−40, 50, 0) N działa w punkcie A(4, 0, 0). Współrzędne podano w metrach. Znajdź wartość |M| momentu tej siły względem punkt O(−3, 2, 1).

F = (−40, 50, 0) NA(4, 0, 0) mO(−3, 2, 1) m

|M| = N·m

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 20 kN/m w A do zera w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 5 mw₀ = 20 kN/m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka złożona jest utwierdzona w ścianie w A, ma przegub wewnętrzny w C (4 m od A) i opiera się na podporze przesuwnej w D (8 m od A). Przenosi siłę skupioną P w odległości 5 m od A, obciążenie równomiernie rozłożone w na całej części CD. Wyznacz wartość momentu utwierdzenia M_A w ścianie.

AC = 4 mAD = 8 mP = 60 kN w 5 mw = 5 kN/m od 4 do 8 m

M_A = kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 4 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 55 kN

F_AB = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AB w pręcie AB. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 6 mwysokość = 3 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 10 kNobciążenie poziome = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 4 m, a B leży 3 m nad podłożem i 2,4 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,96 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 5 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 5 kNL = 4 mH = 3 modległość pozioma od A do B = 2,4 modległość pozioma od A do K = 0,96 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Jednorodny poziomy wysięgnik AB o ciężarze 2 kN jest zamocowany przegubowo do ściany w A i utrzymywany liną od B do punktu C na ścianie, 2,5 m nad A. W punkcie B wisi obciążenie 2 kN. Wyznacz wartość reakcji w sworzniu A.

W = 2 kNW_b = 2 kNAB = 2,5 mAC = 2,5 m

A = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 3 kN/m od 0 do 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

35 kN @ 0 m10 kN @ 6 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 20 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmM = 20 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: k = 4,5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Iloczyn skalarny równa się zero

a·b = 2·k + 5·(−3) + (−1)·(−6) = 0

−9 + 2·k = 0

Wyznacz k

k = −(−9)/2 = 4,5

Odpowiedź

k = 4,5

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: |M| = 277,5 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Wektor położenia od O do A

r = A − O = (4, 0, 0) − (−3, 2, 1) = (7, −2, −1) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·0 − (−1)·50 = 50 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·(−40) − 7·0 = 40 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 7·50 − (−2)·(−40) = 270 N·m

Długość

|M| = √(50² + 40² + 270²) = 277,5 N·m

Odpowiedź

|M| = 277,5 N·m

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 16,67 kN

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·20·5 = 50 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,667

R_B = 16,67 kN

R_A = 50 − 16,67 = 33,33 kN

Odpowiedź

R_B = 16,67 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: M_A = 220 kN·m

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory. Przegub wewnętrzny nie może przenieść momentu zginającego, co daje jedno dodatkowe równanie: moment względem przegubu sił po jednej stronie jest równy zeru.

Część CD

W przegubie nie ma momentu, więc momenty względem C dla samej części CD muszą się równoważyć.

W = 5·4 = 20 kN w 2 m od C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 60·1 + 20·2

R_D = 25 kN

V_C = 80 − 25 = 55 kN

Część AC

Siła w przegubie V_C działa na AC w dół (równa co do wartości i przeciwnie skierowana do działania na CD).

R_A = 55 = 55 kN

M_A = 55·4 = 220 kN·m

Odpowiedź

M_A = 220 kN·m

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −49,61 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·1 → C_y = 6,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 6,875 = 48,13 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −48,13/0,9701 = −49,61 kN

Odpowiedź

F_AB = −49,61 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AB = −19,33 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·1 − 20·3 → C_y = −8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −8,333 = 18,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Węzeł A

Załóż, że każdy pręt jest rozciągany (ciągnie od węzła). Tylko AB ma składową pionową w A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,33/0,9487 = −19,33 kN

Odpowiedź

F_AB = −19,33 kN (ściskanie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 1,36 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(1,6² + 3²) = 3,4 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(3/3,4)·4 = 5·0,96

F_BC = 1,36 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 1,36 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 3,162 kN

Siła w linie

T = (2 + 2/2)/0,7071 = 4,243 kN

Składowe w A

A_x = T·cos β = 3 kN

A_y = 2 + 2 − T·sin β = 1 kN

Długość

A = √(3² + 1²) = 3,162 kN

Odpowiedź

A = 3,162 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 37,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Przetnij w x = 5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 15·5 − 3·5·2,5 = 37,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 37,5 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: B (x = 1 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 57,25 kN, R₂ = 19,75 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = −35 kN·m, M_C = −16,75, M_D = −6,5, M_E = −4,25, M_F = −10, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt B: M_B = −35 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 52,99 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

środnik: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·275 + 3120·130)/6720 = 207,7 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·30³/12 + 3600·(275 − 207,7)² = 1,659 × 10⁷ mm⁴

środnik: 12·260³/12 + 3120·(130 − 207,7)² = 3,64 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,659 × 10⁷ + 3,64 × 10⁷ = 5,299 × 10⁷ mm⁴ = 52,99 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 52,99 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 80,41 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

środnik: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·132,5 + 1680·60)/5680 = 111,1 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·25³/12 + 4000·(132,5 − 111,1)² = 2,048 × 10⁶ mm⁴

środnik: 14·120³/12 + 1680·(60 − 111,1)² = 6,395 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,048 × 10⁶ + 6,395 × 10⁶ = 8,443 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 145 − 111,1 = 33,94 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·33,94/8,443 × 10⁶ = 80,41 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 80,41 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics