W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Długość
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Wersor
û = a/|a|
Składowe z kąta
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Iloczyn skalarny
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b
a·b/|b|
Praca
W = F·d
Iloczyn wektorowy
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Pola
równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O
MO = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu
V = |a·(b × c)|
Metoda
Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.
Reakcje podpór belek
Równowaga
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment
M = F·d
Metoda
Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣFy = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.
Kratownica: równoważenie węzłów
Metoda równoważenia węzłów
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metoda przekrojów
ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie
dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie
Metoda
Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣFx = 0 oraz ΣFy = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.
Ramy i maszyny
Równowaga każdego pręta
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy
siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie
równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie
F = √(Fx² + Fy²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa
Fin·a = Fout·b
Przegub kolanowy
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne
wypadkowa w·L w środku obciążenia
Metoda
Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣFx = 0 i ΣFy = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.
Siła tnąca i moment zginający
Siła tnąca i moment
V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania
σ = M·y/I
Prostokąt
I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju
W = I/ymax
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne
Mmax = wL²/8
Metoda
Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.
Środek ciężkości i moment bezwładności
Środek ciężkości
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Prostokąt
I = bh³/12
Twierdzenie Steinera
I = Ic + A·d²
Przekrój złożony
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Zadania do ćwiczenia
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni
Znajdź wartość k, dla której wektory a = (4, −3, 1) i b = (5, 6, k) są prostopadłe.
a = (4, −3, 1)b = (5, 6, k)
k =
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny
Siła F = (0, 50, 20) N działa w punkcie A(1, −4, −4). Współrzędne podano w metrach. Znajdź składową y, czyli My, momentu tej siły względem punkt O(−1, −3, 2).
F = (0, 50, 20) NA(1, −4, −4) mO(−1, −3, 2) m
My = N·m
3.Reakcje podpór belekŚredni
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 4,5 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Wyznacz reakcję pionową RA, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 4,5 mAC = 6 mP1 = 40 kN w 0,5 mP2 = 15 kN w 6 m
RA = kN
4.Reakcje podpór belekTrudny
Belka ma podporę nieprzesuwną w A i przesuwną w B, w odległości 4 m od A, i wystaje poza B aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P w odległości 1 m od A oraz obciążenie równomiernie rozłożone w od 3,5 m do swobodnego końca w 6 m. Wyznacz reakcję pionową RB, przyjmując zwrot w górę jako dodatni.
AB = 4 mAC = 6 mP = 40 kN w 1 mw = 10 kN/m od 3,5 do 6 m
RB = kN
5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
B: 25 kN ↓F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓
1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC
6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny
Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.
W pokazanym zacisku z przegubem kolanowym dwa jednakowe ogniwa AB i BC są połączone przegubem w B, a każde tworzy kąt 15° z prostą AC. W punkcie B przyłożono siłę 150 N skierowaną w dół. Suwak C naciska na obrabiany element. Pomijając tarcie i ciężary, wyznacz poziomą siłę docisku Q.
F = 150 Nθ = 15°
Q = N
8.Ramy i maszynyTrudny
Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 3,2 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 2 m i są połączone poziomym ściągiem DE na wysokości 1,2 m. W punkcie C działa pozioma siła 6 kN skierowana w prawo. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.
P = 6 kNAB = 3,2 mwysokość C = 2 mwysokość DE = 1,2 m
T = kN
9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni
Belka opiera się na podporze nieprzesuwnej w A i przesuwnej w B i wystaje poza B o 2 m aż do swobodnego końca C. Przenosi siłę skupioną P1 między podporami i siłę skupioną P2 w C. Wyznacz moment zginający Mx pod siłą P1. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 6 mP1 = 70 kN w 1,5 mP2 = 10 kN w 6 mpodpory w x = 0 i x = 4 m
Mx = kN·m
10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny
Wyznacz moment zginający Mx w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.
L = 4 mP = 10 kN w 2,5 mw = 4 kN/m od 0 do 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni
Rura okrągła ma średnicę zewnętrzną D = 300 mm i średnicę wewnętrzną d = 276 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.
D = 300 mmd = 276 mm
r = mm
12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny
Płyta 120 mm × 240 mm ma prostokątne wycięcie o szerokości 40 mm i wysokości 30 mm, umieszczone na pionowej osi symetrii, ze środkiem 96 mm nad dolną krawędzią. Wyznacz moment bezwładności przekroju Ix względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości.
b = 120 mmh = 240 mmwycięcie: 40 × 30 mmśrodek otworu: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Roztwory
1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: k = −2
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Iloczyn skalarny równa się zero
a·b = 4·5 + (−3)·6 + 1·k = 0
2 + 1·k = 0
Wyznacz k
k = −2/1 = −2
Odpowiedź
k = −2
2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy
Odpowiedź: My = −40 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Wektor położenia od O do A
r = A − O = (1, −4, −4) − (−1, −3, 2) = (2, −1, −6) m
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Momenty względem A
Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnio.
ΣMA = 0: RB·4,5 = 40·0,5 + 15·6
RB = 110/4,5 = 24,44 kN
Równowaga sił pionowych
RA = 40 + 15 − 24,44 = 30,56 kN
Odpowiedź
RA = 30,56 kN
4.Reakcje podpór belek
Odpowiedź: RB = 39,69 kN
Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣFx = 0, ΣFy = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.
Wypadkowa obciążenia ciągłego
W = 10·2,5 = 25 kN, x̄ = (3,5 + 6)/2 = 4,75 m
Równowaga
Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 25·4,75
RB = 158,8/4 = 39,69 kN
RA = 65 − 39,69 = 25,31 kN
Odpowiedź
RB = 39,69 kN
5.Kratownica: równoważenie węzłów
Odpowiedź: pręt DH
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł D
CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.
Węzeł C
BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Sprawdź metodą węzłów
Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).
Maszyny: szczypce, dźwignie, mechanizmy dźwigniowe i zaciski zamieniają siłę wejściową na większą lub inaczej skierowaną siłę wyjściową. Narysuj jedną część jako ciało swobodne i zapisz momenty względem jej osi obrotu: siła w sworzniu odpada, a Fin·a = Fout·b daje przełożenie sił a/b. Siłę w sworzniu wyznaczysz potem z ΣF = 0 dla tej samej części. W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ; każde ogniwo jest prętem dwusiłowym, więc mała siła F w przegubie wywołuje duże siły w ogniwach F/(2 sin θ) i siłę docisku F/(2 tan θ).
Równowaga przegubu B
2·Flink·sin 15° = 150
Flink = 289,8 N
Siła docisku
Q = Flink·cos 15° = 150/(2·tan 15°) = 279,9 N
Odpowiedź
Q = 279,9 N
Stosunek sił Q/F = 1,866 rośnie bez ograniczeń, gdy ogniwa się prostują.
8.Ramy i maszyny
Odpowiedź: T = 7,5 kN
Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣFx = 0, ΣFy = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.
Cała rama: momenty względem A
By·3,2 = 6·2
By = 3,75 kN
Noga BC: momenty względem C
3,75·1,6 = T·0,8
T = 7,5 kN
Odpowiedź
T = 7,5 kN
Dodatnie T oznacza, że ściąg jest rozciągany, tak jak założono.
9.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = 58,13 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki. Siła na wsporniku też daje moment względem A.
ΣMA = 0: RB·4 = 70·1,5 + 10·6
RB = 165/4 = 41,25 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 41,25 = 38,75 kN
Przekrój pod P1, zostaw lewą część
Mx = RA·1,5 = 38,75·1,5 = 58,13 kN·m
Odpowiedź
Mx = 58,13 kN·m
10.Siła tnąca i moment zginający
Odpowiedź: Mx = 16,88 kN·m
Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.
Reakcje podpór
Równowaga całej belki.
Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, przyłożona w x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2,5 + 4·4·2
RB = 57/4 = 14,25 kN
ΣFy = 0: RA = 26 − 14,25 = 11,75 kN
Przetnij w x = 2,5 m i zostaw lewą część
Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.
M = RA·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)
Mx = 11,75·2,5 − 4·2,5·1,25 = 16,88 kN·m
Odpowiedź
Mx = 16,88 kN·m
11.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: r = 101,9 mm
Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = Ic + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.
Pole netto i moment bezwładności netto
A = π(D² − d²)/4 = 10857 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,128 × 10⁸ mm⁴
Promień bezwładności
r = √(I/A) = √(1,128 × 10⁸/10857) = 101,9 mm
Odpowiedź
r = 101,9 mm
12.Środek ciężkości i moment bezwładności
Odpowiedź: Ix = 137,4 × 10⁶ mm⁴
Przekroje z otworami: traktuj otwór jako ujemne pole. Środek ciężkości to ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), gdzie A₁, y₁ dotyczą pełnej płyty, a A₂, y₂ otworu. Dla momentu bezwładności przekroju względem osi środkowej użyj twierdzenia Steinera dla każdej części i odejmij otwór: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), gdzie d to odległość środka ciężkości każdej części od osi przechodzącej przez ȳ. Prostokąt ma Ic = bh³/12, a koło Ic = πd⁴/64.