Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Znajdź kąt θ między wektorami a = (−3, −6, −1) i b = (−3, −2, −4), w stopniach.

a = (−3, −6, −1)b = (−3, −2, −4)

θ = °

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(0, −2, 0), B(0, 0, −1) i C(2, 2, 4). Współrzędne podano w metrach.

A(0, −2, 0)B(0, 0, −1)C(2, 2, 4)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, rosnące od zera w A do 6 kN/m w B. W odległości 7 m od A działa też siła skupiona P. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 50 kN w 7 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 2,5 m od A działa siła P nachylona pod kątem 60° do poziomu, a w odległości 5,5 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 6 mP = 80 kN w 2,5 m, θ = 60°Q = 80 kN w 5,5 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓G: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

D: 15 kN ↓F: 15 kN ↓F: 10 kN →H: 35 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

W pokazanym zacisku z przegubem kolanowym dwa jednakowe ogniwa AB i BC są połączone przegubem w B, a każde tworzy kąt 15° z prostą AC. W punkcie B przyłożono siłę 300 N skierowaną w dół. Suwak C naciska na obrabiany element. Pomijając tarcie i ciężary, wyznacz poziomą siłę docisku Q.

F = 300 Nθ = 15°

Q = N

8.Ramy i maszynyTrudny

Belka AB pokazanego wspornika ściennego jest zamocowana przegubowo w A i podparta rozpórką CD (C leży 0,5 m poniżej A). Belka niesie obciążenie ciągłe 1,5 kN/m na całej długości oraz obciążenie skupione 6 kN na swobodnym końcu B. Wyznacz siłę F_CD w rozpórce.

w = 1,5 kN/mP = 6 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 0,5 m

F_CD = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 55 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 3,5 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mM₀ = 55 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 3,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 4 mP = 45 kN w 1,5 mw = 6 kN/m od 0 do 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 25 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: θ = 46,81 °

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Iloczyn skalarny

a·b = (−3)·(−3) + (−6)·(−2) + (−1)·(−4) = 25

Długości

|a| = √((−3)² + (−6)² + (−1)²) = 6,782

|b| = √((−3)² + (−2)² + (−4)²) = 5,385

Kąt

cos θ = 25/(6,782·5,385) = 0,6845

θ = arccos(0,6845) = 46,81°

Odpowiedź

θ = 46,81°

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 6,403 m²

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (0, 2, −1)

AC = C − A = (2, 4, 4)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 2·4 − (−1)·4 = 12

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−1)·2 − 0·4 = −2

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 0·4 − 2·2 = −4

|AB × AC| = √(12² + (−2)² + (−4)²) = 12,81

Pole trójkąta

A = ½·12,81 = 6,403 m²

Odpowiedź

A = 6,403 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 55 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·6,667 + 50·7

R_B = 55 kN

R_A = 80 − 55 = 25 kN

Odpowiedź

R_B = 55 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 61,78 kN

Składowe P

P_v = 80·sin 60° = 69,28 kN

P_h = 80·cos 60° = 40 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·6 = 69,28·2,5 + 80·5,5 → R_B = 102,2 kN

A_y = 69,28 + 80 − 102,2 = 47,08 kN

A_x = P_h = 40 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(40² + 47,08²) = 61,78 kN

Odpowiedź

R_A = 61,78 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt BF

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł B

AB i BC leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 24,38 kN (T), BC: 24,38 kN (T), CD: 28,12 kN (T), DE: 28,12 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 41,25 kN (C), AF: 40,63 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 28,13 kN (T), HC: 21,88 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: BF

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 31,25 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 31,25 kN (C), GH: 43,75 kN (C), AF: 30,05 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 8,839 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: Q = 559,8 N

Maszyny: szczypce, dźwignie, mechanizmy dźwigniowe i zaciski zamieniają siłę wejściową na większą lub inaczej skierowaną siłę wyjściową. Narysuj jedną część jako ciało swobodne i zapisz momenty względem jej osi obrotu: siła w sworzniu odpada, a F_in·a = F_out·b daje przełożenie sił a/b. Siłę w sworzniu wyznaczysz potem z ΣF = 0 dla tej samej części. W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ; każde ogniwo jest prętem dwusiłowym, więc mała siła F w przegubie wywołuje duże siły w ogniwach F/(2 sin θ) i siłę docisku F/(2 tan θ).

Równowaga przegubu B

2·F_link·sin 15° = 300

F_link = 579,6 N

Siła docisku

Q = F_link·cos 15° = 300/(2·tan 15°) = 559,8 N

Odpowiedź

Q = 559,8 N

Stosunek sił Q/F = 1,866 rośnie bez ograniczeń, gdy ogniwa się prostują.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_CD = 25,21 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Wypadkowa obciążenia ciągłego

w·L = 1,5·1,5 = 2,25 kN w 0,75 m

Momenty względem A dla belki

F_CD·0,53·0,8 = 2,25·0,75 + 6·1,5 = 10,69 kN·m

F_CD = 25,21 kN

Odpowiedź

F_CD = 25,21 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 22,92 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/6 = 9,167 kN (w górę)

R_A = −R_B = −9,167 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz R_A i moment skupiony.

M_x = R_A·a + M₀ = −9,167·3,5 + 55 = 22,92 kN·m

Odpowiedź

M_x = 22,92 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 53,44 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1,5 + 6·4·2

R_B = 115,5/4 = 28,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 28,88 = 40,13 kN

Przetnij w x = 1,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 40,13·1,5 − 6·1,5·0,75 = 53,44 kN·m

Odpowiedź

M_x = 53,44 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 108,9 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

środnik: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·307,5 + 6000·150)/10500 = 217,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 300·15³/12 + 4500·(307,5 − 217,5)² = 3,653 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·300³/12 + 6000·(150 − 217,5)² = 7,234 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,653 × 10⁷ + 7,234 × 10⁷ = 1,089 × 10⁸ mm⁴ = 108,9 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 108,9 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 59,42 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

środnik: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·307,5 + 3000·150)/4500 = 202,5 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 100·15³/12 + 1500·(307,5 − 202,5)² = 1,657 × 10⁷ mm⁴

środnik: 10·300³/12 + 3000·(150 − 202,5)² = 3,077 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,657 × 10⁷ + 3,077 × 10⁷ = 4,733 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 315 − 202,5 = 112,5 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·112,5/4,733 × 10⁷ = 59,42 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 59,42 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics