Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (−5, −20, −30) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(0, −4, −2) do punktu B(1, −5, −3). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (−5, −20, −30) NA(0, −4, −2) mB(1, −5, −3) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(0, −3, 2), B(3, 1, −4) i C(−2, 3, 0). Współrzędne podano w metrach.

A(0, −3, 2)B(3, 1, −4)C(−2, 3, 0)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 5 mP₁ = 15 kN w 1,5 mP₂ = 40 kN w 3,5 m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. W odległości 3,5 m od A działa siła P nachylona pod kątem 30° do poziomu, a w odległości 2 m od A pionowa siła Q. Wyznacz wartość całkowitej siły reakcji R_A w podporze nieprzesuwnej A.

L = 4 mP = 15 kN w 3,5 m, θ = 30°Q = 10 kN w 2 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 30 kN ↓H: 35 kN ↓H: 40 kN ←

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama ma przeguby w A, B i C; A i C są zamocowane do podłoża w odległości 3 m, a B leży 2 m nad podłożem i 0,45 m na prawo od A. Na pręt AB w punkcie K, w odległości 0,1125 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 20 kN. Wyznacz siłę F_BC w pręcie BC.

P = 20 kNL = 3 mH = 2 modległość pozioma od A do B = 0,45 modległość pozioma od A do K = 0,1125 m

F_BC = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Prasa z przegubem kolanowym ma dwa jednakowe ogniwa AB i BC, każde o długości 100 mm między przegubami. Przegub B leży 25 mm nad prostą AC. Jaka siła F skierowana w dół w punkcie B daje poziomą siłę nacisku 1500 N na suwaku C? Pomiń tarcie i ciężary.

Q = 1500 NAB = BC = 100 mmh = 25 mm

F = N

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 10 mw = 12 kN/m od 0 do 10 mx = 1 m

V_x = kN

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 3 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mP = 60 kN w 3 mw = 4 kN/m od 0 do 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Belka żeliwna ma pokazany przekrój teowy z półką u góry. Naprężenia dopuszczalne wynoszą 40 MPa przy rozciąganiu i 90 MPa przy ściskaniu. Wyznacz największy ujemny moment zginający M_allow, jaki może przenieść belka (podaj jego wartość bezwzględną).

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = 45 J

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (1, −5, −3) − (0, −4, −2) = (1, −1, −1) m

Praca

W = F·d = (−5)·1 + (−20)·(−1) + (−30)·(−1) = 45 J

Odpowiedź

W = 45 J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 21,12 m²

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (3, 4, −6)

AC = C − A = (−2, 6, −2)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 4·(−2) − (−6)·6 = 28

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−6)·(−2) − 3·(−2) = 18

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 3·6 − 4·(−2) = 26

|AB × AC| = √(28² + 18² + 26²) = 42,24

Pole trójkąta

A = ½·42,24 = 21,12 m²

Odpowiedź

A = 21,12 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 22,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1,5 + 40·3,5

R_B = 162,5/5 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 32,5 = 22,5 kN

Odpowiedź

R_A = 22,5 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 14,28 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Składowe P

P_v = 15·sin 30° = 7,5 kN

P_h = 15·cos 30° = 12,99 kN

Reakcje

ΣM_A = 0: R_B·4 = 7,5·3,5 + 10·2 → R_B = 11,56 kN

A_y = 7,5 + 10 − 11,56 = 5,938 kN

A_x = P_h = 12,99 kN

Wypadkowa w A

R_A = √(12,99² + 5,938²) = 14,28 kN

Odpowiedź

R_A = 14,28 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 5,625 kN (T), BC: 11,25 kN (T), CD: 11,25 kN (T), DE: 9,375 kN (T), FG: 5,625 kN (C), GH: 9,375 kN (C), AF: 9,375 kN (C), HE: 15,62 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 9,375 kN (C), DG: 3,125 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 6,563 kN (C), BC: 4,375 kN (T), CD: 4,375 kN (T), DE: 15,31 kN (T), FG: 33,44 kN (C), GH: 55,31 kN (C), AF: 55,73 kN (C), HE: 25,52 kN (C), BF: 44,58 kN (T), CG: 0, DH: 14,58 kN (C), BG: 18,23 kN (C), DG: 18,23 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_BC = 1,215 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Pręt dwusiłowy BC

BC = √(2,55² + 2²) = 3,241 m

Cała rama: momenty względem A

Podłoże naciska na BC w C wzdłuż CB; jego składowa pozioma przechodzi przez A, moment ma tylko składowa pionowa.

F_BC·(2/3,241)·3 = 20·0,1125

F_BC = 1,215 kN (ściskanie)

Odpowiedź

F_BC = 1,215 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F = 774,6 N

Maszyny: szczypce, dźwignie, mechanizmy dźwigniowe i zaciski zamieniają siłę wejściową na większą lub inaczej skierowaną siłę wyjściową. Narysuj jedną część jako ciało swobodne i zapisz momenty względem jej osi obrotu: siła w sworzniu odpada, a F_in·a = F_out·b daje przełożenie sił a/b. Siłę w sworzniu wyznaczysz potem z ΣF = 0 dla tej samej części. W przegubie kolanowym dwa ogniwa spotykają się pod płytkim kątem θ; każde ogniwo jest prętem dwusiłowym, więc mała siła F w przegubie wywołuje duże siły w ogniwach F/(2 sin θ) i siłę docisku F/(2 tan θ).

Kąt ogniwa

sin θ = 25/100 = 0,25, θ = 14,48°

Siła w ogniwie

F_link = Q/cos θ = 1549 N

Siła w B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1500·tan θ = 774,6 N

Odpowiedź

F = 774,6 N

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = 48 kN

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, przyłożona w x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 60 − 12·1 = 48 kN

Odpowiedź

V_x = 48 kN

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 108 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3 + 4·6·3

R_B = 252/6 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 42 = 42 kN

Przetnij w x = 3 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 42·3 − 4·3·1,5 = 108 kN·m

Odpowiedź

M_x = 108 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 80,43 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

środnik: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·270 + 5200·130)/10400 = 200 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·20³/12 + 5200·(270 − 200)² = 2,565 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·260³/12 + 5200·(130 − 200)² = 5,477 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,565 × 10⁷ + 5,477 × 10⁷ = 8,043 × 10⁷ mm⁴ = 80,43 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 80,43 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: M_allow = 4,283 kN·m

Środek ciężkości

ȳ = (3000·112,5 + 1200·50)/4200 = 94,64 mm

krawędź górna: c = 125 − 94,64 = 30,36 mm

Moment bezwładności przekroju

I = 120·25³/12 + 3000·17,86² + 12·100³/12 + 1200·44,64² = 4,504 × 10⁶ mm⁴

Moment dopuszczalny dla każdej krawędzi

Moment ujemny: góra jest rozciągana, dół ściskany.

krawędź górna: M = 40·4,504 × 10⁶/30,36 = 5,935 kN·m

krawędź dolna: M = 90·4,504 × 10⁶/94,64 = 4,283 kN·m

Wartość decydująca

M_allow = min = 4,283 kN·m (krawędź dolna)

Odpowiedź

M_allow = 4,283 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics