Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (−20, −20, −30) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(2, 2, −5) do punktu B(−4, 3, 3). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (−20, −20, −30) NA(2, 2, −5) mB(−4, 3, 3) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź objętość V równoległościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to a = (5, −1, −1), b = (5, 1, −3) i c = (3, −5, 2).

a = (5, −1, −1)b = (5, 1, −3)c = (3, −5, 2)

V =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 10 mP₁ = 20 kN w 2 mP₂ = 60 kN w 7 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mP = 10 kN w 2,5 mw = 4 kN/m od 2 do 4 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 40 kN ↓C: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 25 kN ↓H: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_AC w pręcie AC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 8 mwysokość = 2 mB jest 7 m od Aobciążenie pionowe = 50 kNobciążenie poziome = 25 kN →

F_AC = kN

7.Ramy i maszynyŚredni

Pozioma belka AB jest przegubowo zamocowana do ściany w A i podparta rozpórką CD, zamocowaną przegubowo do ściany w C, 1,5 m poniżej A. W punkcie B wisi obciążenie 2 kN. Pomiń ciężary. Wyznacz wartość siły A w przegubie działającej na belkę w A.

P = 2 kNAD = 1,5 mAB = 2,5 mAC = 1,5 m

A = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Belka AB pokazanego wspornika ściennego jest zamocowana przegubowo w A i podparta rozpórką CD (C leży 1,5 m poniżej A). Belka niesie obciążenie ciągłe 5 kN/m na całej długości oraz obciążenie skupione 6 kN na swobodnym końcu B. Wyznacz siłę F_CD w rozpórce.

w = 5 kN/mP = 6 kNAD = 1,5 mAB = 3 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Belka swobodnie podparta jest obciążona momentem skupionym M₀ = 20 kN·m działającym zgodnie z ruchem wskazówek zegara w x = 2,5 m od A i niczym więcej. Wyznacz moment zginający M_x tuż na prawo od momentu skupionego. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mM₀ = 20 kN·m zgodnie z ruchem wskazówek zegara, w odległości 2,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 1 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mP = 60 kN w 1 mw = 6 kN/m od 0 do 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz naprężenie od zginania σ_dół na dolnej krawędzi.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 25 kN·m

σ_dół = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = −140 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (−4, 3, 3) − (2, 2, −5) = (−6, 1, 8) m

Praca

W = F·d = (−20)·(−6) + (−20)·1 + (−30)·8 = −140 J

Odpowiedź

W = −140 J

Praca ujemna: siła działa głównie przeciwnie do ruchu.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: V = 18

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Iloczyn wektorowy b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 1·2 − (−3)·(−5) = −13

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·3 − 5·2 = −19

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·(−5) − 1·3 = −28

Iloczyn skalarny z a

a·(b × c) = 5·(−13) + (−1)·(−19) + (−1)·(−28) = −18

V = |−18| = 18

Odpowiedź

V = 18

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 46 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2 + 60·7

R_B = 460/10 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 46 = 34 kN

Odpowiedź

R_B = 46 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 5,75 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2,5 + 4·2·3

R_B = 49/4 = 12,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 12,25 = 5,75 kN

Odpowiedź

R_A = 5,75 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 101,7 kN (T), BC: 101,7 kN (T), CD: 91,67 kN (T), DE: 91,67 kN (T), FG: 130 kN (C), GH: 130 kN (C), AF: 127,1 kN (C), HE: 114,6 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 35,42 kN (T), HC: 47,92 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_AC = 25 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·7 + 25·2 → C_y = 50 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 50 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −50/0,8944 = −55,9 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−55,9)·0,4472 = 25 kN

Odpowiedź

F_AC = 25 kN (rozciąganie)

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: A = 3,59 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w rozpórce

F_CD = 2·2,5/(0,7071·1,5) = 4,714 kN

Składowe w A

A_x = F_CD·cos α = 3,333 kN (w stronę ściany)

A_y = 2 − F_CD·sin α = −1,333 kN

Długość

A = √(3,333² + −1,333²) = 3,59 kN

Odpowiedź

A = 3,59 kN

Ujemne A_y oznacza, że ściana ciągnie belkę w dół w punkcie A.

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: F_CD = 38,18 kN

Wypadkowa obciążenia ciągłego

w·L = 5·3 = 15 kN w 1,5 m

Momenty względem A dla belki

F_CD·0,7071·1,5 = 15·1,5 + 6·3 = 40,5 kN·m

F_CD = 38,18 kN

Odpowiedź

F_CD = 38,18 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 11,67 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Przyłożony moment skupiony powoduje skok na wykresie momentów zginających o wartość tego momentu.

Reakcje podpór

Momenty względem A, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dodatnie: R_B·L − M₀ = 0. Równowaga pionowa: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/6 = 3,333 kN (w górę)

R_A = −R_B = −3,333 kN (w dół)

Przekrój tuż na prawo od momentu skupionego

Lewa część zawiera teraz R_A i moment skupiony.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,333·2,5 + 20 = 11,67 kN·m

Odpowiedź

M_x = 11,67 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 60 kN·m

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1 + 6·5·2,5

R_B = 135/5 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 27 = 63 kN

Przetnij w x = 1 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 63·1 − 6·1·0,5 = 60 kN·m

Odpowiedź

M_x = 60 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 31,74 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

środnik: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·245 + 2400·120)/5200 = 187,3 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 280·10³/12 + 2800·(245 − 187,3)² = 9,343 × 10⁶ mm⁴

środnik: 10·240³/12 + 2400·(120 − 187,3)² = 2,239 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,343 × 10⁶ + 2,239 × 10⁷ = 3,174 × 10⁷ mm⁴ = 31,74 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 31,74 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_dół = 68,98 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

środnik: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·252,5 + 4800·120)/10800 = 193,6 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 240·25³/12 + 6000·(252,5 − 193,6)² = 2,112 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·240³/12 + 4800·(120 − 193,6)² = 4,905 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,112 × 10⁷ + 4,905 × 10⁷ = 7,017 × 10⁷ mm⁴

Naprężenie od zginania

Dolna krawędź jest w odległości ȳ od osi.

y = 193,6 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·193,6/7,017 × 10⁷ = 68,98 MPa

Odpowiedź

σ_dół = 68,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics