Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (10, −25, −30) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(2, −3, −4) do punktu B(−4, 2, −1). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (10, −25, −30) NA(2, −3, −4) mB(−4, 2, −1) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Wersor n̂ jest prostopadły do wektorów a = (−4, −5, 3) i b = (1, −3, 4) i ma dodatnią składową z. Znajdź jego składową y, czyli n̂_y.

a = (−4, −5, 3)b = (1, −3, 4)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta (podpora nieprzesuwna w A, przesuwna w B) przenosi obciążenie liniowo zmienne, malejące od 8 kN/m w A do zera w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 4 mw₀ = 8 kN/m

R_A = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_A.

L = 8 mP = 45 kN w 7 mw = 12 kN/m od 2 do 3 m

R_A = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Użyj metody równoważenia węzłów, aby wyznaczyć siłę F_BC w pręcie BC. Rozciąganie podaj jako dodatnie, a ściskanie jako ujemne.

rozpiętość = 4 mwysokość = 2 mB jest 1 m od Aobciążenie pionowe = 35 kN

F_BC = kN

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 10 kN ↓F: 15 kN →G: 35 kN ↓H: 15 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt BG
13pręt DG

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 4 m. Nogi spotykają się w przegubie C na wysokości 4 m, a poziomy ściąg DE jest 0,8 m nad podłożem. W punkcie C działa obciążenie 4 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 4 kNAB = 4 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 0,8 m

C = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 4 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 2,5 m i poziomym ściągiem DE 0,6 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 6 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 6 kNAB = 4 mwysokość C = 2,5 mwysokość DE = 0,6 modległość pozioma od A do K = 1 m

C = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz siłę tnącą V_x w przekroju x = 3,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 6 mw = 8 kN/m od 0 do 6 mx = 3,5 m

V_x = kN

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Belka swobodnie podparta przenosi obciążenie równomiernie rozłożone w na całej rozpiętości oraz siłę skupioną P. Wyznacz maksymalny moment zginający M_max w belce.

L = 4 mP = 30 kN w 1,5 mw = 5 kN/m od 0 do 4 m

M_max = kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Prostokątny przekrój skrzynkowy ma szerokość zewnętrzną B = 260 mm, wysokość zewnętrzną H = 300 mm i stałą grubość ścianek t = 14 mm. Wyznacz promień bezwładności r przekroju względem poziomej osi centralnej.

B = 260 mmH = 300 mmt = 14 mm

r = mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 40 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 40 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = −275 J

Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, jest skalarem. Pozwala wyznaczyć kąt między dwoma wektorami, cos θ = a·b/(|a|·|b|), i jest równy zero, gdy wektory są prostopadłe. Rzut skalarny a na b wynosi a·b/|b|, a stała siła F na przemieszczeniu d wykonuje pracę W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (−4, 2, −1) − (2, −3, −4) = (−6, 5, 3) m

Praca

W = F·d = 10·(−6) + (−25)·5 + (−30)·3 = −275 J

Odpowiedź

W = −275 J

Praca ujemna: siła działa głównie przeciwnie do ruchu.

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: n̂_y = 0,6843

Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) jest prostopadły do obu wektorów, a |a × b| = |a|·|b|·sin θ to pole równoległoboku, który rozpinają (trójkąt ma połowę tego pola). Kolejność ma znaczenie: b × a = −(a × b). Moment siły F przyłożonej w punkcie A względem punktu O to M_O = r × F, gdzie r = A − O.

Iloczyn wektorowy

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·4 − 3·(−3) = −11

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·1 − (−4)·4 = 19

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·(−3) − (−5)·1 = 17

Normalizacja

Składowa z wektora a × b jest już dodatnia.

|a × b| = √((−11)² + 19² + 17²) = 27,77

n̂ = (−11, 19, 17)/27,77 = (−0,3962, 0,6843, 0,6122)

n̂_y = 0,6843

Odpowiedź

n̂_y = 0,6843

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 10,67 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku spełnia ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Zastąp każde obciążenie ciągłe jego wypadkową (polem wykresu obciążenia) przyłożoną w środku ciężkości wykresu obciążenia i licz momenty względem podpory, aby usunąć z równania reakcję tej podpory.

Wypadkowa obciążenia trójkątnego

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 16·1,333

R_B = 5,333 kN

R_A = 16 − 5,333 = 10,67 kN

Odpowiedź

R_A = 10,67 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_A = 13,88 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·7 + 12·1·2,5

R_B = 345/8 = 43,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 43,13 = 13,88 kN

Odpowiedź

R_A = 13,88 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: F_BC = −15,77 kN

Metoda równoważenia węzłów: każdy węzeł kratownicy jest w równowadze, więc w każdym węźle ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0. Zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami. Wynik ujemny oznacza, że pręt jest ściskany.

Reakcje podpór

Równowaga całej kratownicy. Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Węzeł C

Podpora przesuwna daje tylko reakcję pionową, więc w węźle C są tylko dwie nieznane siły w prętach. Załóż, że oba pręty są rozciągane.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,75/0,5547 = −15,77 kN

Odpowiedź

F_BC = −15,77 kN (ściskanie)

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt CG

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł C

BC i CD leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 49,58 kN (T), BC: 70,83 kN (T), CD: 70,83 kN (T), DE: 45,42 kN (T), FG: 49,58 kN (C), GH: 45,42 kN (C), AF: 43,23 kN (C), HE: 56,77 kN (C), BF: 25,94 kN (T), CG: 0, DH: 19,06 kN (T), BG: 26,56 kN (C), DG: 31,77 kN (C)

Odpowiedź

Pręt zerowy: CG

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 2,358 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Siła w ściągu z nogi BC

B_y = 2 kN

T = 2·2/3,2 = 1,25 kN

Składowe siły w przegubie na BC

C_x = T = 1,25 kN, C_y = −B_y = −2 kN

Długość

C = √(1,25² + 2²) = 2,358 kN

Odpowiedź

C = 2,358 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 2,178 kN

Reakcja podpory w B

B_y = 6·1/4 = 1,5 kN

Siła w ściągu

T = 1,5·2/1,9 = 1,579 kN

Siła w przegubie na BC

C_x = 1,579 kN, C_y = −1,5 kN

C = √(1,579² + 1,5²) = 2,178 kN

Odpowiedź

C = 2,178 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: V_x = −4 kN

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, przyłożona w x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Przetnij w x = 3,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

V = R_A − (wszystkie obciążenia w dół na lewo od przekroju)

V_x = 24 − 8·3,5 = −4 kN

Odpowiedź

V_x = −4 kN

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_max = 37,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju. Moment maksymalny: ponieważ dM/dx = V, moment zginający osiąga ekstremum tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero, albo w miejscu siły skupionej, albo wewnątrz obciążenia ciągłego.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1,5 + 5·4·2

R_B = 85/4 = 21,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 21,25 = 28,75 kN

Gdzie V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 21,25 kN

V(1,5⁺) = 21,25 − 30 = −8,75 kN

Siła tnąca zmienia znak w obrębie obciążenia, więc maksimum leży pod obciążeniem.

Moment maksymalny

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 28,75·1,5 − 5·1,5²/2 = 37,5 kN·m

Odpowiedź

M_max = 37,5 kN·m

Występuje w x = 1,5 m od A.

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: r = 114,7 mm

Moment bezwładności: dla prostokąta względem własnej osi centralnej I = bh³/12, a względem podstawy bh³/3 (twierdzenie Steinera I = I_c + A·d²). Otwór uwzględnia się, odejmując jego I, o ile obie części odnoszą się do tej samej osi. Sprężysty wskaźnik wytrzymałości to S = I/c, gdzie c jest odległością do skrajnych włókien. Promień bezwładności r = √(I/A) to odległość, w której całe pole dawałoby ten sam moment I; stosuje się go przy wyboczeniu słupów.

Pole netto i moment bezwładności netto

b = 232 mm, h = 272 mm

A = BH − bh = 260·300 − 232·272 = 14896 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,959 × 10⁸ mm⁴

Promień bezwładności

r = √(I/A) = √(1,959 × 10⁸/14896) = 114,7 mm

Odpowiedź

r = 114,7 mm

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 308,3 MPa

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

środnik: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·125 + 2400·60)/3600 = 81,67 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 120·10³/12 + 1200·(125 − 81,67)² = 2,263 × 10⁶ mm⁴

środnik: 20·120³/12 + 2400·(60 − 81,67)² = 4,007 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,263 × 10⁶ + 4,007 × 10⁶ = 6,27 × 10⁶ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 130 − 81,67 = 48,33 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·48,33/6,27 × 10⁶ = 308,3 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 308,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics