Statyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Długość: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Wersor: û = a/|a|
Składowe z kąta: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Iloczyn skalarny: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Rzut skalarny a na b: a·b/|b|
Praca: W = F·d
Iloczyn wektorowy: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Pola: równoległobok |a × b|, trójkąt ½|a × b|
Moment względem O: M_O = r × F, r = A − O
Objętość równoległościanu: V = |a·(b × c)|

Metoda

Zapisz każdy wektor w składowych; dla siły podanej przez wartość i kąt użyj F·cos θ i F·sin θ.
Do długości i kierunków użyj długości √(x² + y² + z²) i wersora a/|a|.
Iloczyn skalarny stosuj do kątów, rzutów, prostopadłości i pracy: a·b = |a||b|cos θ.
Iloczyn wektorowy stosuj do wektorów prostopadłych, pól i momentów: starannie zapisz trzy składowe, zachowując kolejność a × b.

Reakcje podpór belek

Równowaga: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia
Moment: M = F·d

Metoda

Narysuj schemat sił i zastąp każdą podporę jej reakcjami.
Zastąp każde obciążenie ciągłe jedną siłą przyłożoną w jego środku ciężkości.
Napisz równanie momentów względem jednej podpory, aby wyznaczyć reakcję w drugiej.
Z ΣF_y = 0 wyznacz pozostałą reakcję i sprawdź drugim równaniem momentów.

Kratownica: równoważenie węzłów

Metoda równoważenia węzłów: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metoda przekrojów: ΣM = 0 about a cut point
Siła w pręcie: dodatnia = rozciąganie, ujemna = ściskanie

Metoda

Wyznacz reakcje podpór całej kratownicy.
Metoda równoważenia węzłów: zacznij od węzła z co najwyżej dwiema nieznanymi siłami w prętach i użyj ΣF_x = 0 oraz ΣF_y = 0.
Metoda Rittera (przekrojów): przetnij potrzebny pręt i napisz równanie momentów względem punktu, w którym przecinają się pozostałe nieznane pręty.
Załóż rozciąganie; wynik ujemny oznacza ściskanie.

Ramy i maszyny

Równowaga każdego pręta: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Pręt dwusiłowy: siła działa wzdłuż prostej przechodzącej przez jego dwa przeguby
Siła w przegubie: równe co do wartości i przeciwnie skierowane na dwóch łączonych prętach
Wartość siły w przegubie: F = √(F_x² + F_y²)
Dźwignia, szczypce, dźwignia kątowa: F_in·a = F_out·b
Przegub kolanowy: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Obciążenie równomierne: wypadkowa w·L w środku obciążenia

Metoda

Narysuj całą konstrukcję i wyznacz reakcje podpór, jeśli nie ma więcej niż trzech niewiadomych.
Wskaż pręty dwusiłowe: obciążone tylko w dwóch przegubach, mają siłę działającą wzdłuż prostej łączącej te przeguby.
Rozbierz ramę i narysuj każdy pręt osobno, z równymi i przeciwnie skierowanymi siłami w przegubach tam, gdzie pręty się stykają.
Dla każdego pręta zapisz momenty względem przegubu z nieznanymi siłami, potem użyj ΣF_x = 0 i ΣF_y = 0; składowe złóż w wartość siły dopiero na końcu.

Siła tnąca i moment zginający

Siła tnąca i moment: V = ΣF po jednej stronie, M = ΣF·d po jednej stronie
Naprężenie od zginania: σ = M·y/I
Prostokąt: I = bh³/12
Wskaźnik wytrzymałości przekroju: W = I/y_max
Swobodnie podparta, obciążenie równomierne: M_max = wL²/8

Metoda

Wyznacz reakcje podpór z równowagi całej belki.
Przetnij belkę w potrzebnym przekroju i zostaw jedną stronę.
Siła tnąca: suma sił pionowych po tej stronie. Moment zginający: suma ich momentów względem przekroju.
Aby znaleźć moment maksymalny, wyznacz miejsce, w którym siła tnąca jest równa zeru.

Środek ciężkości i moment bezwładności

Środek ciężkości: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Prostokąt: I = bh³/12
Twierdzenie Steinera: I = I_c + A·d²
Przekrój złożony: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Zadania do ćwiczenia

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyŚredni

Stała siła F = (25, 5, 20) N działa na ciało, które porusza się po linii prostej od punktu A(2, 0, 0) do punktu B(4, −5, 5). Współrzędne podano w metrach. Znajdź pracę W wykonaną przez siłę.

F = (25, 5, 20) NA(2, 0, 0) mB(4, −5, 5) m

W = J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowyTrudny

Znajdź pole A trójkąta o wierzchołkach A(−4, −3, 1), B(2, −4, 4) i C(−1, −4, 3). Współrzędne podano w metrach.

A(−4, −3, 1)B(2, −4, 4)C(−1, −4, 3)

A = m²

3.Reakcje podpór belekŚredni

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP₁ = 50 kN w 2,5 mP₂ = 25 kN w 4 m

R_B = kN

4.Reakcje podpór belekTrudny

Belka swobodnie podparta ma podporę przegubową nieprzesuwną w A i przesuwną w B. Wyznacz pionową reakcję podpory R_B.

L = 6 mP = 10 kN w 3,5 mw = 6 kN/m od 4 do 5 m

R_B = kN

5.Kratownica: równoważenie węzłówŚredni

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 25 kN ↓G: 10 kN ↓H: 15 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

6.Kratownica: równoważenie węzłówTrudny

Dokładnie jeden pręt tej kratownicy nie przenosi siły przy tych obciążeniach. Który to pręt zerowy? Kliknij go na rysunku.

B: 35 kN ↓C: 20 kN ↓F: 10 kN →G: 40 kN ↓

1pręt AB
2pręt BC
3pręt CD
4pręt DE
5pręt FG
6pręt GH
7pręt AF
8pręt HE
9pręt BF
10pręt CG
11pręt DH
12pręt FC
13pręt HC

7.Ramy i maszynyŚredni

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 4 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 2,4 m i poziomym ściągiem DE 1 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,2 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 15 kN. Wyznacz siłę rozciągającą T w ściągu.

P = 15 kNAB = 4 mwysokość C = 2,4 mwysokość DE = 1 modległość pozioma od A do K = 1,2 m

T = kN

8.Ramy i maszynyTrudny

Pokazana rama A stoi na podporze przegubowej w A i przesuwnej w B, oddalonych o 5 m, z przegubem szczytowym C na wysokości 4 m i poziomym ściągiem DE 1 m nad podłożem. Na nogę AC w punkcie K, w odległości 1,5 m (w poziomie) od A, działa pionowe obciążenie 4 kN. Wyznacz wartość siły C, z jaką przegub C działa na nogę BC.

P = 4 kNAB = 5 mwysokość C = 4 mwysokość DE = 1 modległość pozioma od A do K = 1,5 m

C = kN

9.Siła tnąca i moment zginającyŚredni

Wyznacz moment zginający M_x w przekroju x = 2,5 m od podpory A. Przyjmij dodatnie momenty rozciągające dolne włókna i dodatnią siłę tnącą skierowaną w górę na lewej ściance.

L = 5 mw = 4 kN/m od 0 do 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Siła tnąca i moment zginającyTrudny

Punkty od A do G dzielą belkę na sześć równych części. W którym punkcie moment zginający ma największą wartość bezwzględną, dodatni lub ujemny? Kliknij go na rysunku.

45 kN @ 6 m20 kN @ 3 m12 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Środek ciężkości i moment bezwładnościŚredni

Wyznacz moment bezwładności I_x przekroju teowego względem poziomej osi x przechodzącej przez jego środek ciężkości.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładnościTrudny

Przekrój teowy pracuje jako belka z półką u góry i przenosi dodatni moment zginający 25 kN·m. Wyznacz wartość naprężenia od zginania σ_góra na górnej krawędzi.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 25 kN·m

σ_góra = MPa

3Roztwory

1.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: W = 125 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Przemieszczenie

d = B − A = (4, −5, 5) − (2, 0, 0) = (2, −5, 5) m

Praca

W = F·d = 25·2 + 5·(−5) + 20·5 = 125 J

Odpowiedź

W = 125 J

2.Wektory: iloczyn skalarny i wektorowy

Odpowiedź: A = 2,179 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Wektory krawędzi

AB = B − A = (6, −1, 3)

AC = C − A = (3, −1, 2)

Iloczyn wektorowy

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−1)·2 − 3·(−1) = 1

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 3·3 − 6·2 = −3

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 6·(−1) − (−1)·3 = −3

|AB × AC| = √(1² + (−3)² + (−3)²) = 4,359

Pole trójkąta

A = ½·4,359 = 2,179 m²

Odpowiedź

A = 2,179 m²

3.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 37,5 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2,5 + 25·4

R_B = 225/6 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 37,5 = 37,5 kN

Odpowiedź

R_B = 37,5 kN

4.Reakcje podpór belek

Odpowiedź: R_B = 10,33 kN

Równowaga statyczna: ciało w spoczynku ma ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 i ΣM = 0 względem dowolnego punktu. Moment względem jednej podpory usuwa jej reakcję z równania.

Schemat sił

Zastąp podpory siłami reakcji. Podpora przesuwna daje jedną reakcję pionową; przy samych obciążeniach pionowych podpora nieprzesuwna też daje jedną reakcję pionową.

Równowaga

Momenty względem A, dodatnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Potem równowaga sił pionowych.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, przyłożona w x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·3,5 + 6·1·4,5

R_B = 62/6 = 10,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 10,33 = 5,667 kN

Odpowiedź

R_B = 10,33 kN

5.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Pręty zerowe: w węźle siły muszą się równoważyć w każdym kierunku. Jeśli węzeł nie ma obciążenia ani podpory, a dwa z trzech jego prętów leżą na jednej prostej, to równowaga w kierunku prostopadłym do tej prostej dotyczy tylko trzeciego pręta, więc jego siła jest równa zeru. Jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się tylko dwa pręty i nie leżą na jednej prostej, oba są zerowe.

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 27,5 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 22,5 kN (T), DE: 22,5 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 31,82 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 3,536 kN (T), HC: 10,61 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

6.Kratownica: równoważenie węzłów

Odpowiedź: pręt DH

Węzeł D

CD i DE leżą na jednej prostej, a węzeł nie jest obciążony. Równowaga sił w poprzek tej prostej dotyczy tylko DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Sprawdź metodą węzłów

Rozwiązanie wszystkich węzłów daje takie siły w prętach (T = rozciąganie, C = ściskanie).

AB: 63,75 kN (T), BC: 63,75 kN (T), CD: 41,25 kN (T), DE: 41,25 kN (T), FG: 82,5 kN (C), GH: 82,5 kN (C), AF: 76,01 kN (C), HE: 58,34 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 26,52 kN (T), HC: 58,34 kN (T)

Odpowiedź

Pręt zerowy: DH

7.Ramy i maszyny

Odpowiedź: T = 6,429 kN

Ramy i maszyny: w przeciwieństwie do kratownicy rama zawiera co najmniej jeden pręt, który przenosi siły w więcej niż dwóch punktach albo ma obciążenie między przegubami. Najpierw szukaj prętów dwusiłowych: pręt obciążony tylko w dwóch przegubach ma siłę skierowaną wzdłuż prostej przez te przeguby, więc wnosi jedną niewiadomą, a nie dwie. Potem użyj całej konstrukcji do wyznaczenia reakcji podpór, jeśli niewiadomych jest nie więcej niż trzy. Na końcu rozbierz ramę: narysuj każdy pręt osobno, z siłami w przegubach równymi i przeciwnie skierowanymi na dwóch łączonych prętach, i zapisz dla niego ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 oraz ΣM = 0. Zapisanie momentów względem przegubu usuwa z równania obie składowe siły w tym przegubie.

Cała rama: momenty względem A

B_y = 15·1,2/4 = 4,5 kN

Noga BC: momenty względem C

4,5·2 = T·1,4

T = 6,429 kN

Odpowiedź

T = 6,429 kN

8.Ramy i maszyny

Odpowiedź: C = 1,562 kN

Reakcja podpory w B

B_y = 4·1,5/5 = 1,2 kN

Siła w ściągu

T = 1,2·2,5/3 = 1 kN

Siła w przegubie na BC

C_x = 1 kN, C_y = −1,2 kN

C = √(1² + 1,2²) = 1,562 kN

Odpowiedź

C = 1,562 kN

9.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: M_x = 12,5 kN·m

Metoda przekrojów: przetnij belkę tam, gdzie chcesz znać siły wewnętrzne, i zostaw jedną stronę. Siła tnąca V równoważy siły pionowe po tej stronie, a moment zginający M ich momenty względem przekroju.

Reakcje podpór

Równowaga całej belki.

Wypadkowa obciążenia ciągłego: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, przyłożona w x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Przetnij w x = 2,5 m i zostaw lewą część

Uwzględniasz tylko siły na lewo od przekroju. Fragment obciążenia ciągłego działa jak jedna siła w środku tego fragmentu.

M = R_A·x − (każde obciążenie na lewo od przekroju × jego odległość od przekroju)

M_x = 10·2,5 − 4·2,5·1,25 = 12,5 kN·m

Odpowiedź

M_x = 12,5 kN·m

10.Siła tnąca i moment zginający

Odpowiedź: F (x = 5 m)

Największy moment zginający: nachylenie wykresu M zmienia się tam, gdzie zmienia się siła tnąca, więc jego maksima leżą tam, gdzie siła tnąca przechodzi przez zero: pod siłą skupioną, wewnątrz obciążenia ciągłego albo nad podporą przy wsporniku. W utwierdzeniu belki wspornikowej moment jest największy przy ścianie. Porównaj wartości M w tych miejscach, zarówno dodatnie (zginanie „w dół”), jak i ujemne.

Reakcje podpór

Zapisz momenty względem jednej podpory, a potem użyj bilansu sił pionowych.

R₁ = 29 kN, R₂ = 96 kN

Moment zginający w każdym punkcie

Zsumuj momenty wszystkich sił po jednej stronie przekroju. Zginanie „w dół” jest dodatnie, „w górę” ujemne.

M_A = 0, M_B = 23, M_C = 34, M_D = 33, M_E = 0, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Odpowiedź

Punkt F: M_F = −45 kN·m

11.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: I_x = 36,53 × 10⁶ mm⁴

Przekroje złożone: podziel przekrój na prostokąty. Środek ciężkości to średnia ważona polami ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Moment bezwładności względem osi centralnej sumuje własne bh³/12 każdej części i człon Steinera A·d², gdzie d to odległość środka ciężkości części od środka ciężkości całości. Naprężenie od zginania to σ = M·y/I.

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

środnik: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·270 + 2080·130)/5280 = 214,8 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 160·20³/12 + 3200·(270 − 214,8)² = 9,84 × 10⁶ mm⁴

środnik: 8·260³/12 + 2080·(130 − 214,8)² = 2,669 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,84 × 10⁶ + 2,669 × 10⁷ = 3,653 × 10⁷ mm⁴ = 36,53 × 10⁶ mm⁴

Odpowiedź

I_x = 36,53 × 10⁶ mm⁴

12.Środek ciężkości i moment bezwładności

Odpowiedź: σ_góra = 19,43 MPa

Podziel na dwa prostokąty

Mierz każde y od dolnej krawędzi.

półka: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

środnik: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Środek ciężkości

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·292,5 + 5600·140)/12100 = 221,9 mm

Twierdzenie Steinera

półka: 260·25³/12 + 6500·(292,5 − 221,9)² = 3,272 × 10⁷ mm⁴

środnik: 20·280³/12 + 5600·(140 − 221,9)² = 7,417 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,272 × 10⁷ + 7,417 × 10⁷ = 1,069 × 10⁸ mm⁴

Naprężenie od zginania

Górna krawędź jest w odległości h − ȳ od osi.

y = 305 − 221,9 = 83,08 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·83,08/1,069 × 10⁸ = 19,43 MPa

Odpowiedź

σ_góra = 19,43 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics