Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 48, 56, 60, 13.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 44?

μ = 60σ = 8x = 44

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 11 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 11p = 0,25

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,8444. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,8444

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 20% wszystkich wartości (20. percentyl).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 10 elementów ma średnią 40,5 i odchylenie standardowe s = 8. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 10x̄ = 40,5s = 895%t(9) = 2,262

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 12 poletek, średni plon 32,5 kg, odchylenie standardowe 9,5 kg. Grupa poletek 2: 14 poletek, średnia 26 kg, odchylenie standardowe 5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 32,5s₁ = 9,5n₂ = 14x̄₂ = 26s₂ = 590%t(24) = 1,711

dolna granica = kg

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 132 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 132s = 20n = 16

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 100 pomiarów ma średnią 498,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 498,5σ = 8n = 10099%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (24,5, 69). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(24,5, 69)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 19,06

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 231/5 = 46,2

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 7,8² + 1,8² + 9,8² + 13,8² + (−33,2)² = 1453

Odchylenie standardowe

s = √(1453/4) = 19,06

Odpowiedź

s = 19,06

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = −2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 99

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,1 + 20·0,25 + 30·0,3 + 40·0,35 = 29

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,1 + 400·0,25 + 900·0,3 + 1600·0,35 = 940

Wariancja

Var(X) = 940 − 29² = 99

Odpowiedź

Var(X) = 99

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1971

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,75¹¹ = 0,04224

P(X = 1) = 11·0,25·0,75¹⁰ = 0,1549

Dodaj

P = 0,04224 + 0,1549 = 0,1971

Odpowiedź

P = 0,1971

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,42

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,8444)/2 = 0,9222

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9222 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,42

Odpowiedź

z = 1,42

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 26,95 min

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Powrót do x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Odpowiedź

x = 26,95 min

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 34,78

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Margines błędu

E = 2,262·8/√10 = 5,722

Przedział

40,5 ± 5,722 → [34,78, 46,22]

Odpowiedź

dolna granica = 34,78

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 1,512 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (11·9,5² + 13·5²)/24 = 54,91

s_p = 7,41

Margines błędu

E = 1,711·7,41·√(1/12 + 1/14) = 4,988

Przedział

6,5 ± 4,988 → [1,512, 11,49]

Odpowiedź

dolna granica = 1,512 kg

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Statystyka testowa

t = (132 − 120)/5 = 2,4

Odpowiedź

t = 2,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 500,6

Margines błędu

E = 2,576·8/√100 = 2,061

Granica przedziału

U = 498,5 + 2,061 = 500,6

Odpowiedź

U = 500,6

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9756

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 304/6 = 50,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 687,3

Współczynnik korelacji

r = 214/√(70·687,3) = 0,9756

Odpowiedź

r = 0,9756

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 4,81

Średnie

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 332/6 = 55,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 465

Prosta regresji

b = 465/157,5 = 2,952

a = 55,33 − 2,952·21,5 = −8,143

ŷ = −8,143 + 2,952·x

Wartość przewidywana

ŷ = −8,143 + 2,952·24,5 = 64,19

Reszta

e = 69 − 64,19 = 4,81

Odpowiedź

e = 4,81

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1