Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 49, 51, 40, 46, 59, 35, 13.
n = 7
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 63,6?
μ = 70σ = 8x = 63,6
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 6 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
6 / 9
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 6p = 0,3k = 3
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 30,2 a 38 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 32σ = 6x1 = 30,2x2 = 38
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 95% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 178 cmσ = 7 cm95%
x = cm
7.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 100 telefonów, średnia 52,5 h, znane odchylenie standardowe 16 h. Model 2: 100 telefonów, średnia 42 h, znane odchylenie standardowe 8 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 100x̄₁ = 52,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 42 hσ₂ = 8 h90%
E = h
8.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 31. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 31E = 299%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 50 części ma średnią długość 92,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 11 mm. Linia 2: próba 60 części ma średnią 88,3 mm, znane odchylenie standardowe 3 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
n₁ = 50x̄₁ = 92,5 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 60x̄₂ = 88,3 mmσ₂ = 3 mm
z =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 50 przeciw H₁: μ > 50 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 10. W rzeczywistości średnia wynosi 52,3. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 50μ = 52,3σ = 10n = 100α = 0,05
1 − β = %
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 20?
n = 5ŷ = 20
x =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 14,88
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 293/7 = 41,86
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 7,143² + 9,143² + (−1,857)² + 4,143² + 17,14² + (−6,857)² + (−28,86)² = 1329
Odchylenie standardowe
s = √(1329/6) = 14,88
Odpowiedź
s = 14,88
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,2119
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −0,8
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Odpowiedź
P = 0,2119
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1429
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429
Odpowiedź
P = 0,1429
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1852
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 3) = 20·0,33·0,73 = 20·0,027·0,343 = 0,1852
Odpowiedź
P = 0,1852
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,4593
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3
z₂ = (38 − 32)/6 = 1
Pole pomiędzy
P = Φ(1) − Φ(−0,3) = 0,8413 − 0,3821 = 0,4593
Odpowiedź
P = 0,4593
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 189,5 cm
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,95
z z tablicy
z ≈ 1,64
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm
Odpowiedź
x = 189,5 cm
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 2,943 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 52,5 − 42 = 10,5
Błąd standardowy
SE = √(16²/100 + 8²/100) = 1,789
Margines błędu
E = 1,645·1,789 = 2,943
Odpowiedź
E = 2,943 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1595
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·31/2)² = 1594
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 1595
Odpowiedź
n = 1595
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 2,62
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(11²/50 + 3²/60) = √2,57 = 1,603
Statystyka testowa
z = (92,5 − 88,3)/1,603 = 2,62
Odpowiedź
z = 2,62
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 74,38 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 50 + 1,645·1 = 51,65
z przy prawdziwej średniej
z = (51,65 − 52,3)/1 = −0,655
Moc
moc = P(Z > −0,655) = 74,38%
1 − β = 74,38%
Odpowiedź
1 − β = 74,38%
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9922
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 746/6 = 124,3
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 410
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2439
Współczynnik korelacji
r = 410/√(70·2439) = 0,9922
Odpowiedź
r = 0,9922
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 2,643
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 95/5 = 19
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Prosta regresji
b = −28/10 = −2,8
a = 19 − (−2,8)·3 = 27,4
ŷ = 27,4 − 2,8·x
Wyznacz x
x = (20 − 27,4)/(−2,8) = 2,643
Odpowiedź
x = 2,643
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1