Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 47, 34, 49, 25, 40.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 25. Wyznacz wynik z z dla wyniku 450.

μ = 500σ = 25x = 450

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 4 kul czerwonych i 7 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

4 / 7

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 5 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 5p = 0,5

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy śrub są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 40 g i odchyleniem standardowym 1,2 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 10 z nich będzie mniejsza niż 398,1 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10< 398.1 g

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

U 16 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 7,3 i odchylenie standardowe 5,8. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.

n = 16d̄ = 7,3s_d = 5,899%t(15) = 2,947

E = mmHg

8.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 7 poletek, średni plon 13,5 kg, odchylenie standardowe 6,5 kg. Grupa poletek 2: 5 poletek, średnia 8,5 kg, odchylenie standardowe 2 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 13,5s₁ = 6,5n₂ = 5x̄₂ = 8,5s₂ = 290%t(10) = 1,812

górna granica = kg

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 204,2 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204,2s = 20n = 100

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 81 pomiarów ma średnią 50. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 50σ = 4n = 8199%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 8?

n = 5ŷ = 8

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 9,823

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 195/5 = 39

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 8² + (−5)² + 10² + (−14)² + 1² = 386

Odchylenie standardowe

s = √(386/4) = 9,823

Odpowiedź

s = 9,823

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −2

Standaryzuj

z = (450 − 500)/25 = −2

Odpowiedź

z = −2

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1091

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091

Odpowiedź

P = 0,1091

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1875

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Dodaj

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Odpowiedź

P = 0,1875

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,3085

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Standaryzuj

z = (398,1 − 400)/3,795 = −0,5

Prawdopodobieństwo

P = Φ(−0,5) = 0,3085

Odpowiedź

P = 0,3085

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9633

Rozkład różnicy

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Odpowiedź

P = 0,9633

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 4,273 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 15, t = 2,947

Margines błędu

E = 2,947·5,8/√16 = 4,273

Odpowiedź

E = 4,273 mmHg

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 10,51 kg

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (6·6,5² + 4·2²)/10 = 26,95

s_p = 5,191

Margines błędu

E = 1,812·5,191·√(1/7 + 1/5) = 5,508

Przedział

5 ± 5,508 → [−0,508, 10,51]

Odpowiedź

górna granica = 10,51 kg

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,1

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Statystyka testowa

t = (204,2 − 200)/2 = 2,1

Odpowiedź

t = 2,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 51,14

Margines błędu

E = 2,576·4/√81 = 1,145

Granica przedziału

U = 50 + 1,145 = 51,14

Odpowiedź

U = 51,14

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9981

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 55/5 = 11

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 212

Współczynnik determinacji

r² = 92²/(40·212) = 0,9981

Odpowiedź

r² = 0,9981

Około 99,81% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,061

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 76/5 = 15,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

Prosta regresji

b = 98/40 = 2,45

a = 15,2 − 2,45·6 = 0,5

ŷ = 0,5 + 2,45·x

Wyznacz x

x = (8 − 0,5)/2,45 = 3,061

Odpowiedź

x = 3,061

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1