Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 52, 52, 30, 12, 47.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 75. Wyznacz wynik z z dla wyniku 462,5.

μ = 500σ = 75x = 462,5

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 6 kul czerwonych i 3 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

6 / 3

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €3. Wygrywasz €15 z prawdopodobieństwem 0,2 i €30 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €3€15: p = 0,2€30: p = 0,01

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy śrub są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 40 g i odchyleniem standardowym 1,2 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 10 z nich przekroczy 401,9 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 401,9 g

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 70% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 30 elementów ma średnią 105,5 i odchylenie standardowe s = 13. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 30x̄ = 105,5s = 1399%t(29) = 2,756

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 24E = 195%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 81 studentów ma średni wynik 495,1 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 495,1s = 20n = 81

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 16 pomiarów ma średnią 50,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 50,8σ = 8n = 1695%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 53?

n = 6ŷ = 53

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,4

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 193/5 = 38,6

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 13,4² + 13,4² + (−8,6)² + (−26,6)² + 8,4² = 1211

Odchylenie standardowe

s = √(1211/4) = 17,4

Odpowiedź

s = 17,4

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −0,5

Standaryzuj

z = (462,5 − 500)/75 = −0,5

Odpowiedź

z = −0,5

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,4167

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Odpowiedź

P = 0,4167

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 0,3 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 12 (p = 0,2), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)

Wartość oczekiwana

E(G) = 12·0,2 + 27·0,01 − 3·0,79 = 0,3 €

Odpowiedź

E(G) = 0,3 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,3085

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Standaryzuj

z = (401,9 − 400)/3,795 = 0,5

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Odpowiedź

P = 0,3085

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 181,6 cm

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,7

z z tablicy

z ≈ 0,52

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Odpowiedź

x = 181,6 cm

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 98,96

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Margines błędu

E = 2,756·13/√30 = 6,541

Przedział

105,5 ± 6,541 → [98,96, 112]

Odpowiedź

dolna granica = 98,96

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2213

Wyznacz n

n = (1,96·24/1)² = 2213

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2213

Odpowiedź

n = 2213

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,205

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Statystyka testowa

t = (495,1 − 500)/2,222 = −2,205

Odpowiedź

t = −2,205

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 46,88

Margines błędu

E = 1,96·8/√16 = 3,92

Granica przedziału

L = 50,8 − 3,92 = 46,88

Odpowiedź

L = 46,88

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,8555

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 149/6 = 24,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 54,83

Współczynnik korelacji

r = −26,5/√(17,5·54,83) = −0,8555

Odpowiedź

r = −0,8555

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,745

Średnie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 311/6 = 51,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 83,5

Prosta regresji

b = 83,5/17,5 = 4,771

a = 51,83 − 4,771·4,5 = 30,36

ŷ = 30,36 + 4,771·x

Wyznacz x

x = (53 − 30,36)/4,771 = 4,745

Odpowiedź

x = 4,745

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1