Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 24, 32, 17, 26, 38, 48, 10.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 100. Wyznacz wynik z z dla wyniku 350.

μ = 500σ = 100x = 350

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 0,5X + 10. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,35, 0,35Y = 0,5X + 10

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 440 a 532 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 440x₂ = 532

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 15% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 98,5 i odchylenie standardowe s = 12. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 21x̄ = 98,5s = 1295%t(20) = 2,086

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 10 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 9,8 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 9 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 2,7, a 2,5 % powyżej 19,023.

n = 10s = 9,8 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 197,4 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,4s = 5n = 25

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 15E = 0,590%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 8.

n = 6x = 8

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,79

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 195/7 = 27,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−3,857)² + 4,143² + (−10,86)² + (−1,857)² + 10,14² + 20,14² + (−17,86)² = 980,9

Odchylenie standardowe

s = √(980,9/6) = 12,79

Odpowiedź

s = 12,79

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,5

Standaryzuj

z = (350 − 500)/100 = −1,5

Odpowiedź

z = −1,5

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,127

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,3 = 2,65

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,3 = 8,15

Wariancja

Var(X) = 8,15 − 2,65² = 1,127

Odpowiedź

Var(X) = 1,127

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 0,522

Rozrzut X

μ = 2,9, Var(X) = 1,09, σ_X = 1,044

Zmiana liniowa

σ_Y = |0,5|·1,044 = 0,522

Odpowiedź

σ_Y = 0,522

Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·2,9 + 10 = 11,45.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7213

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5

z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8

Pole pomiędzy

P = Φ(0,8) − Φ(−1,5) = 0,7881 − 0,06681 = 0,7213

Odpowiedź

P = 0,7213

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 458 h

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,15

z z tablicy

z ≈ −1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Odpowiedź

x = 458 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 104

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Margines błędu

E = 2,086·12/√21 = 5,462

Przedział

98,5 ± 5,462 → [93,04, 104]

Odpowiedź

górna granica = 104

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 6,741 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 9·9,8² = 864,4

Granice dla σ²

864,4/19,023 = 45,44

864,4/2,7 = 320,1

Granica dla σ

σ = √45,44 = 6,741 µm

Odpowiedź

σ = 6,741 µm

Przedział 95 % dla σ: [6,741, 17,89] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,6

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statystyka testowa

t = (197,4 − 200)/1 = −2,6

Odpowiedź

t = −2,6

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2436

Wyznacz n

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

Zaokrąglij w górę

n = 2436

Odpowiedź

n = 2436

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9474

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 285/5 = 57

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 206

Współczynnik korelacji

r = 86/√(40·206) = 0,9474

Odpowiedź

r = 0,9474

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 72,33

Średnie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 434/6 = 72,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 424

Prosta regresji

b = 424/70 = 6,057

a = 72,33 − 6,057·8 = 23,88

ŷ = 23,88 + 6,057·x

Prognoza

ŷ = 23,88 + 6,057·8 = 72,33

Odpowiedź

ŷ = 72,33

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1