Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni
38404244464850

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 51, 45, 37, 51, 45.

n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 92,5?

μ = 70σ = 15x = 92,5
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
czerwone: 3niebieskie: 6

W worku jest 3 kul czerwonych i 6 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

3 / 6
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
€p(x)−100,84200,15900,01

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €30 z prawdopodobieństwem 0,15 i €100 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€30: p = 0,15€100: p = 0,01
E(G) = €
5.Rozkład normalnyŚredni
25,139,5P = ?

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 25,1 a 39,5 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x1 = 25,1x2 = 39,5
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
557085100115130145pktgóra 80%

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 80% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt80%
x = pkt
7.Przedziały ufnościŚredni
n = 9, s = 15,5LUx̄ = 111E = ?99%

Próba 9 elementów ma średnią 111 i odchylenie standardowe s = 15,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 9x̄ = 111s = 15,599%t(8) = 3,355
E =
8.Przedziały ufnościTrudny
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

Odchylenie standardowe populacji wynosi 26. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 26E = 495%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −1,98401,984

Próba 100 studentów ma średni wynik 70,35 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 70,35s = 15n = 100
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1,5α = 0,01βσ = 5, moc 80%, n = ?

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 1,5 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 80%δ = 1,5σ = 5zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy125219320420517613xy246152025

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6
r² =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy126224324420520618xy2462025ŷ = 24

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 24?

n = 6ŷ = 24
x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 5,762

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 229/5 = 45,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 5,2² + (−0,8)² + (−8,8)² + 5,2² + (−0,8)² = 132,8

Odchylenie standardowe

s = √(132,8/4) = 5,762

Odpowiedź

s = 5,762
2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,06681

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = 1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Odpowiedź

P = 0,06681
3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,08333

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333

Odpowiedź

P = 0,08333
4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −4,5 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 20 (p = 0,15), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Wartość oczekiwana

E(G) = 20·0,15 + 90·0,01 − 10·0,84 = −4,5 €

Odpowiedź

E(G) = −4,5 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7693

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15
z₂ = (39,5 − 32)/6 = 1,25

Pole pomiędzy

P = Φ(1,25) − Φ(−1,15) = 0,8944 − 0,1251 = 0,7693

Odpowiedź

P = 0,7693
6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 87,4 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,2

z z tablicy

z ≈ −0,84

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 − 0,84·15 = 87,4 pkt

Odpowiedź

x = 87,4 pkt
7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 17,33

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Margines błędu

E = 3,355·15,5/√9 = 17,33

Odpowiedź

E = 17,33
8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 163

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·26/4)² = 162,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 163

Odpowiedź

n = 163
9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −3,1

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Statystyka testowa

t = (70,35 − 75)/1,5 = −3,1

Odpowiedź

t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 112

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 0,842)·5/1,5)² = 111,5

Zaokrąglij w górę

n = 112

Odpowiedź

n = 112
11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,7978

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 114/6 = 19

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Syy = Σ(y − ȳ)² = 78

Współczynnik determinacji

r² = −33²/(17,5·78) = 0,7978

Odpowiedź

r² = 0,7978

Około 79,78% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 2,25

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 132/6 = 22

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

Prosta regresji

b = −28/17,5 = −1,6
a = 22 − (−1,6)·3,5 = 27,6
ŷ = 27,6 − 1,6·x

Wyznacz x

x = (24 − 27,6)/(−1,6) = 2,25

Odpowiedź

x = 2,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1