Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 20, 57, 28, 42.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży poniżej 40?
μ = 60σ = 10x = 40
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 6
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 6 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 6p = 0,25
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 65,5 a 77,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 65,5x2 = 77,5
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 60% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 25 elementów ma średnią 99,5 i odchylenie standardowe s = 5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 25x̄ = 99,5s = 595%t(24) = 2,064
górna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 12 poletek, średni plon 37 kg, odchylenie standardowe 7 kg. Grupa poletek 2: 9 poletek, średnia 27 kg, odchylenie standardowe 3,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 12x̄₁ = 37s₁ = 7n₂ = 9x̄₂ = 27s₂ = 3,595%t(19) = 2,093
dolna granica = kg
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 50; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 36. Losowa próba 144 obserwacji ma średnią 47,42. Przetestuj H₀: μ = 50 przeciw H₁: μ ≠ 50. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 50σ = 36n = 144x̄ = 47,42H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 95 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 20. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 20E = 0,595%
n =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 21Σy = 135Σx² = 91Σy² = 3109Σxy = 440
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 16,75
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 204/5 = 40,8
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 16,2² + (−20,8)² + 16,2² + (−12,8)² + 1,2² = 1123
Odchylenie standardowe
s = √(1123/4) = 16,75
Odpowiedź
s = 16,75
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,02275
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −2
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,6651
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Odpowiedź
P = 0,6651
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5339
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,756 = 0,178
P(X = 1) = 6·0,25·0,755 = 0,356
Dodaj
P = 0,178 + 0,356 = 0,5339
Odpowiedź
P = 0,5339
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,3744
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (65,5 − 65)/10 = 0,05
z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25
Pole pomiędzy
P = Φ(1,25) − Φ(0,05) = 0,8944 − 0,5199 = 0,3744
Odpowiedź
P = 0,3744
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 510 h
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,6
z z tablicy
z ≈ 0,25
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
Odpowiedź
x = 510 h
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 101,6
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Margines błędu
E = 2,064·5/√25 = 2,064
Przedział
99,5 ± 2,064 → [97,44, 101,6]
Odpowiedź
górna granica = 101,6
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 4,656 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (11·7² + 8·3,5²)/19 = 33,53
sp = 5,79
Margines błędu
E = 2,093·5,79·√(1/12 + 1/9) = 5,344
Przedział
10 ± 5,344 → [4,656, 15,34]
Odpowiedź
dolna granica = 4,656 kg
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,3898
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (47,42 − 50)/3 = −0,86
Pole ogona
Φ(0,86) = 0,8051
1 − Φ(0,86) = 0,1949
Wartość p
p = 2·0,1949 = 0,3898
Odpowiedź
p = 0,3898
p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 6147
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,96·20/0,5)² = 6147
Zaokrąglij w górę
n = 6147
Odpowiedź
n = 6147
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9188
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 440 − 21·135/6 = −32,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 3109 − 135²/6 = 71,5
Współczynnik korelacji
r = −32,5/√(17,5·71,5) = −0,9188
Odpowiedź
r = −0,9188
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 22,67
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 148/6 = 24,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Prosta regresji
b = −35/17,5 = −2
a = 24,67 − (−2)·3,5 = 31,67
ŷ = 31,67 − 2·x
Prognoza
ŷ = 31,67 + (−2)·4,5 = 22,67
Odpowiedź
ŷ = 22,67
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1