Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 26, 37, 29, 23, 16, 57.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 56.

μ = 60σ = 5x = 56

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,25, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 0,5X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,35Y = 0,5X + 4

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 420 a 520 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 420x₂ = 520

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 20% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 8 elementów ma średnią 115 i odchylenie standardowe s = 10. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 8x̄ = 115s = 1090%t(7) = 1,895

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 8E = 1,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 9 uczniów, średni wynik 74,5, odchylenie standardowe 6,5. Grupa 2: 17 uczniów, średni wynik 67,8, odchylenie standardowe 4,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 9x̄₁ = 74,5s₁ = 6,5n₂ = 17x̄₂ = 67,8s₂ = 4,5

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 40 z 100 pacjentów leczonych metodą A i 59 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 59n₂ = 120

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 33Σy = 393Σx² = 199Σy² = 26275Σxy = 2256

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 45?

n = 6ŷ = 45

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,35

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 188/6 = 31,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−5,333)² + 5,667² + (−2,333)² + (−8,333)² + (−15,33)² + 25,67² = 1029

Odchylenie standardowe

s = √(1029/5) = 14,35

Odpowiedź

s = 14,35

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −0,8

Standaryzuj

z = (56 − 60)/5 = −0,8

Odpowiedź

z = −0,8

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 99

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,1 + 20·0,25 + 30·0,3 + 40·0,35 = 29

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,1 + 400·0,25 + 900·0,3 + 1600·0,35 = 940

Wariancja

Var(X) = 940 − 29² = 99

Odpowiedź

Var(X) = 99

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 0,5148

Rozrzut X

μ = 2,8, Var(X) = 1,06, σ_X = 1,03

Zmiana liniowa

σ_Y = |0,5|·1,03 = 0,5148

Odpowiedź

σ_Y = 0,5148

Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·2,8 + 4 = 5,4.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6687

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (420 − 500)/40 = −2

z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5

Pole pomiędzy

P = Φ(0,5) − Φ(−2) = 0,6915 − 0,02275 = 0,6687

Odpowiedź

P = 0,6687

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 254,2 g

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,8

z z tablicy

z ≈ 0,84

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Odpowiedź

x = 254,2 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 6,7

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margines błędu

E = 1,895·10/√8 = 6,7

Odpowiedź

E = 6,7

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 110

Wyznacz n

n = (1,96·8/1,5)² = 109,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 110

Odpowiedź

n = 110

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 3,095

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (8·6,5² + 16·4,5²)/24 = 27,58

s_p = 5,252

Błąd standardowy

SE = 5,252·√(1/9 + 1/17) = 2,165

Statystyka testowa

t = (74,5 − 67,8)/2,165 = 3,095

Odpowiedź

t = 3,095

Przy df = 24 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,064; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −1,361

Frakcje z prób

p̂₁ = 40/100 = 0,4

p̂₂ = 59/120 = 0,4917

p̂ = 99/220 = 0,45

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,45·0,55·(1/100 + 1/120)) = 0,06736

Statystyka testowa

z = (0,4 − 0,4917)/0,06736 = −1,361

Odpowiedź

z = −1,361

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,978

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 2256 − 33·393/6 = 94,5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 26275 − 393²/6 = 533,5

Współczynnik korelacji

r = 94,5/√(17,5·533,5) = 0,978

Odpowiedź

r = 0,978

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 2,471

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 288/6 = 48

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

Prosta regresji

b = 51/17,5 = 2,914

a = 48 − 2,914·3,5 = 37,8

ŷ = 37,8 + 2,914·x

Wyznacz x

x = (45 − 37,8)/2,914 = 2,471

Odpowiedź

x = 2,471

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1