Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 53, 53, 28, 49.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 125?
μ = 100σ = 20x = 125
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 3 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
3 / 9
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 9p = 0,1
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 20,3 a 41,3 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 32σ = 6x1 = 20,3x2 = 41,3
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 75% wszystkich wartości (75. percentyl).
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 8 elementów ma średnią 65,5 i odchylenie standardowe s = 2. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 8x̄ = 65,5s = 299%t(7) = 3,499
górna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 12 poletek, średni plon 43,5 kg, odchylenie standardowe 4,5 kg. Grupa poletek 2: 9 poletek, średnia 35 kg, odchylenie standardowe 9,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 12x̄₁ = 43,5s₁ = 4,5n₂ = 9x̄₂ = 35s₂ = 9,599%t(19) = 2,861
dolna granica = kg
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
16 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 7,6, a odchylenie standardowe różnic 11,7. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 7,6sd = 11,7
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 28 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 35 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 28n₁ = 80x₂ = 35n₂ = 150
z =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 21Σy = 97Σx² = 91Σy² = 1741Σxy = 285
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 5,5.
n = 6x = 5,5
ŷ =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 11,01
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 237/5 = 47,4
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 6,6² + 5,6² + 5,6² + (−19,4)² + 1,6² = 485,2
Odchylenie standardowe
s = √(485,2/4) = 11,01
Odpowiedź
s = 11,01
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,1056
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Odpowiedź
P = 0,1056
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,04545
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545
Odpowiedź
P = 0,04545
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7748
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,99 = 0,3874
P(X = 1) = 9·0,1·0,98 = 0,3874
Dodaj
P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748
Odpowiedź
P = 0,7748
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9138
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95
z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55
Pole pomiędzy
P = Φ(1,55) − Φ(−1,95) = 0,9394 − 0,02559 = 0,9138
Odpowiedź
P = 0,9138
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 182,7 cm
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Powrót do x
x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm
Odpowiedź
x = 182,72 cm
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 67,97
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Margines błędu
E = 3,499·2/√8 = 2,474
Przedział
65,5 ± 2,474 → [63,03, 67,97]
Odpowiedź
górna granica = 67,97
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −0,3961 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (11·4,5² + 8·9,5²)/19 = 49,72
sp = 7,052
Margines błędu
E = 2,861·7,052·√(1/12 + 1/9) = 8,896
Przedział
8,5 ± 8,896 → [−0,3961, 17,4]
Odpowiedź
dolna granica = −0,3961 kg
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,598
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 11,7/√16 = 2,925
Statystyka testowa
t = 7,6/2,925 = 2,598
Odpowiedź
t = 2,598
Przy df = 15 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,131; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,89
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 28/80 = 0,35
p̂₂ = 35/150 = 0,2333
p̂ = 63/230 = 0,2739
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,2739·0,7261·(1/80 + 1/150)) = 0,06174
Statystyka testowa
z = (0,35 − 0,2333)/0,06174 = 1,89
Odpowiedź
z = 1,89
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,991
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 285 − 21·97/6 = −54,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1741 − 97²/6 = 172,8
Współczynnik korelacji
r = −54,5/√(17,5·172,8) = −0,991
Odpowiedź
r = −0,991
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 53,3
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 255/6 = 42,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94,5
Prosta regresji
b = 94,5/17,5 = 5,4
a = 42,5 − 5,4·3,5 = 23,6
ŷ = 23,6 + 5,4·x
Prognoza
ŷ = 23,6 + 5,4·5,5 = 53,3
Odpowiedź
ŷ = 53,3
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1