Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni
152025303540

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 32, 19, 27, 33, 12, 43.

n = 6
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży powyżej 104,8?

μ = 100σ = 12x = 104,8
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
n = 7k = 3N = ?

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 7 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 7k = 3
N =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
n = 10, p = 0,25: P(X ≤ 1) = ?k012345678910

Testuje się 10 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 10p = 0,25
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
750 g735,2 gX + Y?

X ma rozkład normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 4 g; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 500 g i odchyleniem standardowym 9 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 735,2 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 735,2 g
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
10 g0X − Y?

Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
n = 8, s = 10L = ?Ux̄ = 20E90%

Próba 8 elementów ma średnią 20 i odchylenie standardowe s = 10. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 8x̄ = 20s = 1090%t(7) = 1,895
dolna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
σ = 23, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Odchylenie standardowe populacji wynosi 23. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 23E = 199%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −1,99801,998

Próba 64 studentów ma średni wynik 72,9 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,9s = 12n = 64
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 4E = 290%
n =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy1471168818932011622120xy152080100120

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy21141662883410431251xy5102040ŷ = 22

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 22?

n = 6ŷ = 22
x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,98

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 166/6 = 27,67

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 4,333² + (−8,667)² + (−0,6667)² + 5,333² + (−15,67)² + 15,33² = 603,3

Odchylenie standardowe

s = √(603,3/5) = 10,98

Odpowiedź

s = 10,98
2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,3446

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Odpowiedź

P = 0,3446
3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 35

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

Odpowiedź

N = 35
4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,244

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,7510 = 0,05631
P(X = 1) = 10·0,25·0,759 = 0,1877

Dodaj

P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244

Odpowiedź

P = 0,244
5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9332

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standaryzuj

z = (735,2 − 750)/9,849 = −1,5

Górny ogon

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332
6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8413

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaryzuj

z = (0 − 10)/10 = −1

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413
7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 13,3

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margines błędu

E = 1,895·10/√8 = 6,7

Przedział

20 ± 6,7 → [13,3, 26,7]

Odpowiedź

dolna granica = 13,3
8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 3511

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (2,576·23/1)² = 3510

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 3511

Odpowiedź

n = 3511
9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Statystyka testowa

t = (72,9 − 75)/1,5 = −1,4

Odpowiedź

t = −1,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 11

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (1,645·4/2)² = 10,82

Zaokrąglij w górę

n = 11

Odpowiedź

n = 11
11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9776

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 488/5 = 97,6

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 252
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1661

Współczynnik korelacji

r = 252/√(40·1661) = 0,9776

Odpowiedź

r = 0,9776
12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,927

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 183/6 = 30,5

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 287

Prosta regresji

b = 287/70 = 4,1
a = 30,5 − 4,1·7 = 1,8
ŷ = 1,8 + 4,1·x

Wyznacz x

x = (22 − 1,8)/4,1 = 4,927

Odpowiedź

x = 4,927

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1