Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 33, 12, 22, 29, 38, 46, 43.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Wyznacz wynik z z dla wyniku 90.

μ = 70σ = 10x = 90

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 4 osób z grupy 7 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 7k = 4

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 7 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,7, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?

n = 7p = 0,7k = 2

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9545. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9545

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 25% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 65 pktσ = 10 pkt25%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 10 elementów ma średnią 27 i odchylenie standardowe s = 14,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 10x̄ = 27s = 14,590%t(9) = 1,833

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 90 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,02?

p = 0,5E = 0,0290%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 9 uczniów, średni wynik 31, odchylenie standardowe 2. Grupa 2: 5 uczniów, średni wynik 35,9, odchylenie standardowe 8,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 9x̄₁ = 31s₁ = 2n₂ = 5x̄₂ = 35,9s₂ = 8,5

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 36 pomiarów ma średnią 71,4. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 71,4σ = 12n = 3695%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (9, 37). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(9, 37)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 11,99

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 223/7 = 31,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 1,143² + (−19,86)² + (−9,857)² + (−2,857)² + 6,143² + 14,14² + 11,14² = 862,9

Odchylenie standardowe

s = √(862,9/6) = 11,99

Odpowiedź

s = 11,99

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 2

Standaryzuj

z = (90 − 70)/10 = 2

Odpowiedź

z = 2

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 35

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

Odpowiedź

N = 35

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,025

Wzór dwumianowy

P(X = 2) = 21·0,7²·0,3⁵ = 21·0,49·0,00243 = 0,025

Odpowiedź

P = 0,025

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 2

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,9545)/2 = 0,9772

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9772 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 2,00

Odpowiedź

z = 2,00

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 58,3 pkt

Pole po lewej

Φ(z) = 0,25

z z tablicy

z ≈ −0,67

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 65 − 0,67·10 = 58,3 pkt

Odpowiedź

x = 58,3 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 35,4

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Margines błędu

E = 1,833·14,5/√10 = 8,405

Przedział

27 ± 8,405 → [18,6, 35,4]

Odpowiedź

górna granica = 35,4

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691

Zaokrąglij w górę

n = 1692

Odpowiedź

n = 1692

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,699

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (8·2² + 4·8,5²)/12 = 26,75

s_p = 5,172

Błąd standardowy

SE = 5,172·√(1/9 + 1/5) = 2,885

Statystyka testowa

t = (31 − 35,9)/2,885 = −1,699

Odpowiedź

t = −1,699

Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 75,32

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,96·12/√36 = 3,92

Granica przedziału

U = 71,4 + 3,92 = 75,32

Odpowiedź

U = 75,32

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9966

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 105/5 = 21

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 326

Współczynnik determinacji

r² = 114²/(40·326) = 0,9966

Odpowiedź

r² = 0,9966

Około 99,66% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −2,081

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 187/6 = 31,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 277

Prosta regresji

b = 277/70 = 3,957

a = 31,17 − 3,957·7 = 3,467

ŷ = 3,467 + 3,957·x

Wartość przewidywana

ŷ = 3,467 + 3,957·9 = 39,08

Reszta

e = 37 − 39,08 = −2,081

Odpowiedź

e = −2,081

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1