Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 23, 39, 60, 54, 22.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 90?

μ = 50σ = 20x = 90

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,35, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €2. Wygrywasz €8 z prawdopodobieństwem 0,1 i €40 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €2€8: p = 0,1€40: p = 0,05

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 244,25 a 257,75 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 250σ = 5x₁ = 244,25x₂ = 257,75

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 10% wszystkich wartości (10. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 60 i odchylenie standardowe s = 2,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 6x̄ = 60s = 2,599%t(5) = 4,032

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,1 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,02?

p ≈ 0,1E = 0,0299%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 199,1 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,1s = 4n = 100

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 5. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 5E = 1,599%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 126Σy = 536Σx² = 2716Σy² = 49784Σxy = 11612

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,63

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 252/6 = 42

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 12² + (−19)² + (−3)² + 18² + 12² + (−20)² = 1382

Odchylenie standardowe

s = √(1382/5) = 16,63

Odpowiedź

s = 16,63

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,89

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,9

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,35 = 9,3

Wariancja

Var(X) = 9,3 − 2,9² = 0,89

Odpowiedź

Var(X) = 0,89

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 0,8 €

Wyniki netto

G: 6 (p = 0,1), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,85)

Wartość oczekiwana

E(G) = 6·0,1 + 38·0,05 − 2·0,85 = 0,8 €

Odpowiedź

E(G) = 0,8 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8144

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Pole pomiędzy

P = Φ(1,55) − Φ(−1,15) = 0,9394 − 0,1251 = 0,8144

Odpowiedź

P = 0,8144

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 448,7 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Powrót do x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Odpowiedź

x = 448,74 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 4,115

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Margines błędu

E = 4,032·2,5/√6 = 4,115

Odpowiedź

E = 4,115

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1494

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,1·0,9/0,02² = 1493

Zaokrąglij w górę

n = 1494

Odpowiedź

n = 1494

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,25

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Statystyka testowa

t = (199,1 − 200)/0,4 = −2,25

Odpowiedź

t = −2,25

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 74

Wyznacz n

n = (2,576·5/1,5)² = 73,73

Zaokrąglij w górę

n = 74

Odpowiedź

n = 74

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9758

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 11612 − 126·536/6 = 356

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 49784 − 536²/6 = 1901

Współczynnik korelacji

r = 356/√(70·1901) = 0,9758

Odpowiedź

r = 0,9758

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 21,7

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Prosta regresji

b = −26/10 = −2,6

a = 17,8 − (−2,6)·3 = 25,6

ŷ = 25,6 − 2,6·x

Prognoza

ŷ = 25,6 + (−2,6)·1,5 = 21,7

Odpowiedź

ŷ = 21,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1