Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 57, 34, 31, 56, 29.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 120?

μ = 100σ = 20x = 120

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 7 kul czerwonych i 9 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

7 / 9

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 10 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?

n = 10p = 0,25k = 4

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 32,3 a 35 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 32,3x₂ = 35

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 99% wszystkich wartości (99. percentyl).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 40 telefonów, średnia 87 h, znane odchylenie standardowe 4 h. Model 2: 50 telefonów, średnia 100 h, znane odchylenie standardowe 12 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 87 hσ₁ = 4 hn₂ = 50x̄₂ = 100 hσ₂ = 12 h95%

górna granica = h

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 30 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 3,9 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 29 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 16,047, a 2,5 % powyżej 45,722.

n = 30s = 3,9 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 64 studentów ma średni wynik 201,3 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,3s = 15n = 64

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 25 pomiarów ma średnią 103,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 103,6σ = 12n = 2590%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 17.

n = 6x = 17

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,9

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 207/5 = 41,4

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 15,6² + (−7,4)² + (−10,4)² + 14,6² + (−12,4)² = 773,2

Odchylenie standardowe

s = √(773,2/4) = 13,9

Odpowiedź

s = 13,9

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8413

Standaryzuj

z = 1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,175

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175

Odpowiedź

P = 0,175

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,146

Wzór dwumianowy

P(X = 4) = 210·0,25⁴·0,75⁶ = 210·0,003906·0,178 = 0,146

Odpowiedź

P = 0,146

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1715

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (32,3 − 32)/6 = 0,05

z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5

Pole pomiędzy

P = Φ(0,5) − Φ(0,05) = 0,6915 − 0,5199 = 0,1715

Odpowiedź

P = 0,1715

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 88,26 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Powrót do x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 pkt

Odpowiedź

x = 88,26 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = −9,45 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 87 − 100 = −13

Błąd standardowy

SE = √(4²/40 + 12²/50) = 1,811

Margines błędu

E = 1,96·1,811 = 3,55

Przedział

−13 ± 3,55 → [−16,55, −9,45]

Odpowiedź

górna granica = −9,45 h

Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 5,243 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 29·3,9² = 441,1

Granice dla σ²

441,1/45,722 = 9,647

441,1/16,047 = 27,49

Granica dla σ

σ = √27,49 = 5,243 µm

Odpowiedź

σ = 5,243 µm

Przedział 95 % dla σ: [3,106, 5,243] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,6933

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statystyka testowa

t = (201,3 − 200)/1,875 = 0,6933

Odpowiedź

t = 0,6933

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 99,65

Margines błędu

E = 1,645·12/√25 = 3,948

Granica przedziału

L = 103,6 − 3,948 = 99,65

Odpowiedź

L = 99,65

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9935

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 470/5 = 94

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1874

Współczynnik korelacji

r = 272/√(40·1874) = 0,9935

Odpowiedź

r = 0,9935

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 75,89

Średnie

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 528/6 = 88

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 424

Prosta regresji

b = 424/70 = 6,057

a = 88 − 6,057·19 = −27,09

ŷ = −27,09 + 6,057·x

Prognoza

ŷ = −27,09 + 6,057·17 = 75,89

Odpowiedź

ŷ = 75,89

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1