Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 19, 19, 30, 43, 57, 23, 20.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży powyżej 160?

μ = 170σ = 20x = 160

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 10X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 242,5 a 252,5 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,5x₂ = 252,5

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 75% wszystkich wartości (75. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

U 12 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 6,4 i odchylenie standardowe 6,7. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.

n = 12d̄ = 6,4s_d = 6,795%t(11) = 2,201

E = mmHg

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 40. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 40E = 2,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 250; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 6. Losowa próba 36 obserwacji ma średnią 252,12. Przetestuj H₀: μ = 250 przeciw H₁: μ > 250. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 250σ = 6n = 36x̄ = 252,12H₁: μ > μ₀

p =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 81 pomiarów ma średnią 119,2. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 119,2σ = 4n = 8195%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 33Σy = 329Σx² = 199Σy² = 18649Σxy = 1910

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 62?

n = 5ŷ = 62

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,66

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 211/7 = 30,14

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−11,14)² + (−11,14)² + (−0,1429)² + 12,86² + 26,86² + (−7,143)² + (−10,14)² = 1289

Odchylenie standardowe

s = √(1289/6) = 14,66

Odpowiedź

s = 14,66

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6915

Standaryzuj

z = −0,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Odpowiedź

P = 0,6915

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,6475

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Wariancja

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Odpowiedź

Var(X) = 0,6475

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 8,047

Rozrzut X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Zmiana liniowa

σ_Y = |10|·0,8047 = 8,047

Odpowiedź

σ_Y = 8,047

Średnia się przesuwa: E(Y) = 10·1,05 + 4 = 14,5.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6247

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (242,5 − 250)/5 = −1,5

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Pole pomiędzy

P = Φ(0,5) − Φ(−1,5) = 0,6915 − 0,06681 = 0,6247

Odpowiedź

P = 0,6247

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 527 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Powrót do x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Odpowiedź

x = 526,98 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 4,257 mmHg

Przedział dla różnicy: oszacowanie ± wartość krytyczna × błąd standardowy. Dla dwóch niezależnych średnich przy znanym σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) i z. Przy równych nieznanych wariancjach: łączne s_p i t z n₁ + n₂ − 2 stopniami swobody. Dla prób zależnych pracuj na różnicach: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 11, t = 2,201

Margines błędu

E = 2,201·6,7/√12 = 4,257

Odpowiedź

E = 4,257 mmHg

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 984

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·40/2,5)² = 983,4

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 984

Odpowiedź

n = 984

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,017

Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 6/√36 = 1

z = (252,12 − 250)/1 = 2,12

Pole ogona

Φ(2,12) = 0,9830

1 − Φ(2,12) = 0,0170

Wartość p

p = 0,017

Odpowiedź

p = 0,017

p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 120,1

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,96·4/√81 = 0,8711

Granica przedziału

U = 119,2 + 0,8711 = 120,1

Odpowiedź

U = 120,1

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9736

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 1910 − 33·329/6 = 100,5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 18649 − 329²/6 = 608,8

Współczynnik korelacji

r = 100,5/√(17,5·608,8) = 0,9736

Odpowiedź

r = 0,9736

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 5,111

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 326/5 = 65,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

Prosta regresji

b = 144/40 = 3,6

a = 65,2 − 3,6·6 = 43,6

ŷ = 43,6 + 3,6·x

Wyznacz x

x = (62 − 43,6)/3,6 = 5,111

Odpowiedź

x = 5,111

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1