Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 41, 11, 26, 55, 18, 16.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 50?

μ = 60σ = 5x = 50

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,15, 0,2, 0,15

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 3X − 3. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,15, 0,2, 0,25Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,7737. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,7737

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 16 elementów ma średnią 26 i odchylenie standardowe s = 15. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 16x̄ = 26s = 1595%t(15) = 2,131

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 10E = 1,590%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 198,2 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,2s = 12n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ > 500 przeprowadza się na poziomie α = 0,01 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 30. W rzeczywistości średnia wynosi 504,5. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 500μ = 504,5σ = 30n = 100α = 0,01

β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 30Σy = 61Σx² = 220Σy² = 827Σxy = 422

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,94

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 167/6 = 27,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 13,17² + (−16,83)² + (−1,833)² + 27,17² + (−9,833)² + (−11,83)² = 1435

Odchylenie standardowe

s = √(1435/5) = 16,94

Odpowiedź

s = 16,94

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = −2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,86

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,2 + 4·0,15 = 1,8

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,2 + 16·0,15 = 5,1

Wariancja

Var(X) = 5,1 − 1,8² = 1,86

Odpowiedź

Var(X) = 1,86

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 4,596

Rozrzut X

μ = 2,05, Var(X) = 2,348, σ_X = 1,532

Zmiana liniowa

σ_Y = |3|·1,532 = 4,596

Odpowiedź

σ_Y = 4,596

Średnia się przesuwa: E(Y) = 3·2,05 − 3 = 3,15.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,21

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,7737)/2 = 0,8869

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8869 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,21

Odpowiedź

z = 1,21

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 39,69 min

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Powrót do x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Odpowiedź

x = 39,69 min

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 18,01

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Margines błędu

E = 2,131·15/√16 = 7,991

Przedział

26 ± 7,991 → [18,01, 33,99]

Odpowiedź

dolna granica = 18,01

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 121

Wyznacz n

n = (1,645·10/1,5)² = 120,3

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 121

Odpowiedź

n = 121

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,9

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statystyka testowa

t = (198,2 − 200)/2 = −0,9

Odpowiedź

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 79,56 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 500 + 2,326·3 = 507

z przy prawdziwej średniej

z = (507 − 504,5)/3 = 0,826

Błąd II rodzaju

moc = P(Z > 0,826) = 20,44%

β = 100% − 20,44% = 79,56%

Odpowiedź

β = 79,56%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9731

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 422 − 30·61/5 = 56

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 827 − 61²/5 = 82,8

Współczynnik korelacji

r = 56/√(40·82,8) = 0,9731

Odpowiedź

r = 0,9731

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 46,35

Średnie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 323/6 = 53,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65,5

Prosta regresji

b = 65,5/17,5 = 3,743

a = 53,83 − 3,743·4,5 = 36,99

ŷ = 36,99 + 3,743·x

Prognoza

ŷ = 36,99 + 3,743·2,5 = 46,35

Odpowiedź

ŷ = 46,35

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1