Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni
20253035404550

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 28, 54, 39, 40, 18.

n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 173,2?

μ = 170σ = 8x = 173,2
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
P(co najmniej jedna szóstka) = ??1?2?3?4?5?6P(szóstka) = 1/6 w każdym rzucie

Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 6
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
xp(x)00,3510,120,330,25μ

X ma pokazany rozkład, a Y = 0,5X + 5. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,1, 0,3, 0,25Y = 0,5X + 5
σY =
5.Rozkład normalnyŚredni
−3−2−10123zzacieniowane pole na prawo od z = 0,0150

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0150. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,0150
z =
6.Rozkład normalnyTrudny
0,03 mm0D − d?

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,03 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
n = 20, s = 19,5LU = ?x̄ = 52,5E90%

Próba 20 elementów ma średnią 52,5 i odchylenie standardowe s = 19,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 20x̄ = 52,5s = 19,590%t(19) = 1,729
górna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

Odchylenie standardowe populacji wynosi 36. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?

σ = 36E = 290%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −1,99801,998

Próba 64 studentów ma średni wynik 98,9 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,9s = 4n = 64
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,05βσ = 15, moc 95%, n = ?

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 95%δ = 5σ = 15zα = 1,645zβ = 1,645
n =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy125225321421517xy242025

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5Σx = 15Σy = 109Σx² = 55Σy² = 2421Σxy = 307
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy139240350448556xy244050x = 1,5

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 1,5.

n = 5x = 1,5
ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,57

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 179/5 = 35,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−7,8)² + 18,2² + 3,2² + 4,2² + (−17,8)² = 736,8

Odchylenie standardowe

s = √(736,8/4) = 13,57

Odpowiedź

s = 13,57
2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6554

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Odpowiedź

P = 0,6554
3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,6651

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Odpowiedź

P = 0,6651
4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σY = 0,6016

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 1,45, Var(X) = 1,447, σX = 1,203

Zmiana liniowa

σY = |0,5|·1,203 = 0,6016

Odpowiedź

σY = 0,6016

Średnia się przesuwa: E(Y) = 0,5·1,45 + 5 = 5,725.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 2,17

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,0150 = 0,9850

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9850 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 2,17

Odpowiedź

z = 2,17
6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9515

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Odpowiedź

P = 0,9515
7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 60,04

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Margines błędu

E = 1,729·19,5/√20 = 7,539

Przedział

52,5 ± 7,539 → [44,96, 60,04]

Odpowiedź

górna granica = 60,04
8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 877

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,645·36/2)² = 876,8

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 877

Odpowiedź

n = 877
9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Statystyka testowa

t = (98,9 − 100)/0,5 = −2,2

Odpowiedź

t = −2,2
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 98

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 1,645)·15/5)² = 97,42

Zaokrąglij w górę

n = 98

Odpowiedź

n = 98
11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9449

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

Sxy = 307 − 15·109/5 = −20
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2421 − 109²/5 = 44,8

Współczynnik korelacji

r = −20/√(10·44,8) = −0,9449

Odpowiedź

r = −0,9449
12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 40,3

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 233/5 = 46,6

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

Prosta regresji

b = 42/10 = 4,2
a = 46,6 − 4,2·3 = 34
ŷ = 34 + 4,2·x

Prognoza

ŷ = 34 + 4,2·1,5 = 40,3

Odpowiedź

ŷ = 40,3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1