Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 26, 28, 13, 21, 52.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 76.
μ = 70σ = 15x = 76
z =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 11 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 11k = 3
N =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,7, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?
n = 9p = 0,7k = 3
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 45,5 a 73,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 45,5x2 = 73,5
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Wzrost X mężczyzn i wzrost Y kobiet w grupie są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 180 cm i odchylenie standardowe 10 cm, Y ma średnią 170 cm i odchylenie standardowe 12 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
U 8 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −8,5 i odchylenie standardowe 0,9. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.
n = 8d̄ = −8,5sd = 0,990%t(7) = 1,895
dolna granica = mmHg
8.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 20 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 1 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 19 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 8,907, a 2,5 % powyżej 32,852.
n = 20s = 1 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 36 studentów ma średni wynik 103,5 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 103,5s = 10n = 36
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 25 pomiarów ma średnią 497. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 497σ = 15n = 2590%
L =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 14,61
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 140/5 = 28
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−2)² + 0² + (−15)² + (−7)² + 24² = 854
Odchylenie standardowe
s = √(854/4) = 14,61
Odpowiedź
s = 14,61
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: z = 0,4
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (76 − 70)/15 = 0,4
Odpowiedź
z = 0,4
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 165
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165
Odpowiedź
N = 165
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,021
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 3) = 84·0,73·0,36 = 84·0,343·0,000729 = 0,021
Odpowiedź
P = 0,021
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7767
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95
z₂ = (73,5 − 65)/10 = 0,85
Pole pomiędzy
P = Φ(0,85) − Φ(−1,95) = 0,8023 − 0,02559 = 0,7767
Odpowiedź
P = 0,7767
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7389
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaryzuj
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Odpowiedź
P = 0,7389
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −9,103 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 7, t = 1,895
Margines błędu
E = 1,895·0,9/√8 = 0,603
Przedział
−8,5 ± 0,603 → [−9,103, −7,897]
Odpowiedź
dolna granica = −9,103 mmHg
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 1,461 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 19·1² = 19
Granice dla σ²
19/32,852 = 0,5784
19/8,907 = 2,133
Granica dla σ
σ = √2,133 = 1,461 µm
Odpowiedź
σ = 1,461 µm
Przedział 95 % dla σ: [0,7605, 1,461] µm.
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,1
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Statystyka testowa
t = (103,5 − 100)/1,667 = 2,1
Odpowiedź
t = 2,1
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 492,1
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·15/√25 = 4,935
Granica przedziału
L = 497 − 4,935 = 492,1
Odpowiedź
L = 492,1
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9988
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 61/5 = 12,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70
Syy = Σ(y − ȳ)² = 122,8
Współczynnik korelacji
r = 70/√(40·122,8) = 0,9988
Odpowiedź
r = 0,9988
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 56,55
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 303/5 = 60,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81
Prosta regresji
b = 81/10 = 8,1
a = 60,6 − 8,1·3 = 36,3
ŷ = 36,3 + 8,1·x
Prognoza
ŷ = 36,3 + 8,1·2,5 = 56,55
Odpowiedź
ŷ = 56,55
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1