Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 24, 43, 16, 43, 56, 11, 60.
n = 7
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 108?
μ = 100σ = 20x = 108
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15
σ =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 7p = 0,5
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 460 a 532 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 500σ = 40x1 = 460x2 = 532
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 12 elementów ma średnią 43,5 i odchylenie standardowe s = 8,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 12x̄ = 43,5s = 8,599%t(11) = 3,106
E =
8.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 22. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?
σ = 22E = 1,599%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 120; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 16. Losowa próba 64 obserwacji ma średnią 118,36. Przetestuj H₀: μ = 120 przeciw H₁: μ ≠ 120. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 120σ = 16n = 64x̄ = 118,36H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 36 pomiarów ma średnią 51. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 51σ = 10n = 3690%
U =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 138Σy = 816Σx² = 3244Σy² = 113336Σxy = 19168
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 70?
n = 6ŷ = 70
x =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 19,33
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 253/7 = 36,14
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−12,14)² + 6,857² + (−20,14)² + 6,857² + 19,86² + (−25,14)² + 23,86² = 2243
Odchylenie standardowe
s = √(2243/6) = 19,33
Odpowiedź
s = 19,33
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,6554
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,4
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Odpowiedź
P = 0,6554
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σ = 2,086
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,15 = 2,5
Średnia kwadratów
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,15 = 10,6
Wariancja
Var(X) = 10,6 − 2,5² = 4,35
σ = √4,35 = 2,086
Odpowiedź
σ = 2,086
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,0625
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,57 = 0,007813
P(X = 1) = 7·0,5·0,56 = 0,05469
Dodaj
P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625
Odpowiedź
P = 0,0625
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,6295
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (460 − 500)/40 = −1
z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8
Pole pomiędzy
P = Φ(0,8) − Φ(−1) = 0,7881 − 0,1587 = 0,6295
Odpowiedź
P = 0,6295
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9452
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Odpowiedź
P = 0,9452
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 7,621
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Margines błędu
E = 3,106·8,5/√12 = 7,621
Odpowiedź
E = 7,621
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1428
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·22/1,5)² = 1427
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 1428
Odpowiedź
n = 1428
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,4122
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (118,36 − 120)/2 = −0,82
Pole ogona
Φ(0,82) = 0,7939
1 − Φ(0,82) = 0,2061
Wartość p
p = 2·0,2061 = 0,4122
Odpowiedź
p = 0,4122
p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 53,74
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·10/√36 = 2,742
Granica przedziału
U = 51 + 2,742 = 53,74
Odpowiedź
U = 53,74
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9841
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 19168 − 138·816/6 = 400
Sxx = 3244 − 138²/6 = 70
Syy = 113336 − 816²/6 = 2360
Współczynnik korelacji
r = 400/√(70·2360) = 0,9841
Odpowiedź
r = 0,9841
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 24
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 350/6 = 58,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204
Prosta regresji
b = 204/70 = 2,914
a = 58,33 − 2,914·20 = 0,04762
ŷ = 0,04762 + 2,914·x
Wyznacz x
x = (70 − 0,04762)/2,914 = 24
Odpowiedź
x = 24
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1