Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 14, 26, 21, 58, 27, 48, 29.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 107,2.

μ = 100σ = 12x = 107,2

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 5

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €50 z prawdopodobieństwem 0,2 i €500 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€50: p = 0,2€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 53,5 a 77,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 53,5x₂ = 77,5

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

U 8 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 9,1 i odchylenie standardowe 7,3. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.

n = 8d̄ = 9,1s_d = 7,390%t(7) = 1,895

E = mmHg

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 20 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 1,8 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 19 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 8,907, a 2,5 % powyżej 32,852.

n = 20s = 1,8 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 80 części ma średnią długość 125,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 8 mm. Linia 2: próba 100 części ma średnią 127,2 mm, znane odchylenie standardowe 3 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 80x̄₁ = 125,5 mmσ₁ = 8 mmn₂ = 100x̄₂ = 127,2 mmσ₂ = 3 mm

z =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 30 z 150 pacjentów leczonych metodą A i 38 z 150 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 150x₂ = 38n₂ = 150

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (4,5, 52). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 52)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,53

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 223/7 = 31,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−17,86)² + (−5,857)² + (−10,86)² + 26,14² + (−4,857)² + 16,14² + (−2,857)² = 1447

Odchylenie standardowe

s = √(1447/6) = 15,53

Odpowiedź

s = 15,53

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,6

Standaryzuj

z = (107,2 − 100)/12 = 0,6

Odpowiedź

z = 0,6

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5981

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Odpowiedź

P = 0,5981

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 5 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 40 (p = 0,2), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,79)

Wartość oczekiwana

E(G) = 40·0,2 + 490·0,01 − 10·0,79 = 5 €

Odpowiedź

E(G) = 5 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7693

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Pole pomiędzy

P = Φ(1,25) − Φ(−1,15) = 0,8944 − 0,1251 = 0,7693

Odpowiedź

P = 0,7693

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 4,891 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 7, t = 1,895

Margines błędu

E = 1,895·7,3/√8 = 4,891

Odpowiedź

E = 4,891 mmHg

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 1,369 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 19·1,8² = 61,56

Granice dla σ²

61,56/32,852 = 1,874

61,56/8,907 = 6,911

Granica dla σ

σ = √1,874 = 1,369 µm

Odpowiedź

σ = 1,369 µm

Przedział 95 % dla σ: [1,369, 2,629] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −1,802

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(8²/80 + 3²/100) = √0,89 = 0,9434

Statystyka testowa

z = (125,5 − 127,2)/0,9434 = −1,802

Odpowiedź

z = −1,802

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −1,103

Frakcje z prób

p̂₁ = 30/150 = 0,2

p̂₂ = 38/150 = 0,2533

p̂ = 68/300 = 0,2267

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,2267·0,7733·(1/150 + 1/150)) = 0,04834

Statystyka testowa

z = (0,2 − 0,2533)/0,04834 = −1,103

Odpowiedź

z = −1,103

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9413

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 240/5 = 48

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 267

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 894

Współczynnik korelacji

r = 267/√(90·894) = 0,9413

Odpowiedź

r = 0,9413

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −3,2

Średnie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 264/5 = 52,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

Prosta regresji

b = 48/10 = 4,8

a = 52,8 − 4,8·4 = 33,6

ŷ = 33,6 + 4,8·x

Wartość przewidywana

ŷ = 33,6 + 4,8·4,5 = 55,2

Reszta

e = 52 − 55,2 = −3,2

Odpowiedź

e = −3,2

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1