Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 14, 34, 56, 23, 39, 25, 28.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 53.

μ = 50σ = 5x = 53

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 12 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 12k = 2

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 12 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?

n = 12p = 0,2k = 2

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 108,2 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108,2 s

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 10% wszystkich wartości (10. percentyl).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 39,5 i odchylenie standardowe s = 9. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 15x̄ = 39,5s = 999%t(14) = 2,977

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 40. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 40E = 399%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 80 części ma średnią długość 74 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 11 mm. Linia 2: próba 100 części ma średnią 69,7 mm, znane odchylenie standardowe 12 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).

n₁ = 80x̄₁ = 74 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 100x̄₂ = 69,7 mmσ₂ = 12 mm

z =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 4E = 1,599%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 48Σy = 357Σx² = 454Σy² = 21977Σxy = 3077

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 108?

n = 5ŷ = 108

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,51

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 219/7 = 31,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−17,29)² + 2,714² + 24,71² + (−8,286)² + 7,714² + (−6,286)² + (−3,286)² = 1095

Odchylenie standardowe

s = √(1095/6) = 13,51

Odpowiedź

s = 13,51

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,6

Standaryzuj

z = (53 − 50)/5 = 0,6

Odpowiedź

z = 0,6

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 66

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Odpowiedź

N = 66

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2835

Wzór dwumianowy

P(X = 2) = 66·0,2²·0,8¹⁰ = 66·0,04·0,1074 = 0,2835

Odpowiedź

P = 0,2835

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,3085

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaryzuj

z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5

Górny ogon

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Odpowiedź

P = 0,3085

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 52,18 pkt

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Powrót do x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 pkt

Odpowiedź

x = 52,18 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 46,42

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Margines błędu

E = 2,977·9/√15 = 6,918

Przedział

39,5 ± 6,918 → [32,58, 46,42]

Odpowiedź

górna granica = 46,42

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1180

Wyznacz n

n = (2,576·40/3)² = 1180

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1180

Odpowiedź

n = 1180

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 2,502

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Błąd standardowy różnicy

SE = √(11²/80 + 12²/100) = √2,952 = 1,718

Statystyka testowa

z = (74 − 69,7)/1,718 = 2,502

Odpowiedź

z = 2,502

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 48

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Wyznacz n

n = (2,576·4/1,5)² = 47,19

Zaokrąglij w górę

n = 48

Odpowiedź

n = 48

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,974

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 3077 − 48·357/6 = 221

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 21977 − 357²/6 = 735,5

Współczynnik korelacji

r = 221/√(70·735,5) = 0,974

Odpowiedź

r = 0,974

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 28,59

Średnie

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 446/5 = 89,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 369

Prosta regresji

b = 369/90 = 4,1

a = 89,2 − 4,1·24 = −9,2

ŷ = −9,2 + 4,1·x

Wyznacz x

x = (108 − (−9,2))/4,1 = 28,59

Odpowiedź

x = 28,59

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1