Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni
25303540455055

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 22, 37, 30, 40, 57, 40, 56.

n = 7
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 75?

μ = 70σ = 5x = 75
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
xp(x)100,35200,25300,25400,15μ = 22

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,25, 0,15
Var(X) =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
n = 6, p = 0,6: P(X ≤ 1) = ?k0123456

Testuje się 6 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 6p = 0,6
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
6583P = ?

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 65 a 83 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x1 = 65x2 = 83
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
557085100115130145pktdół 15%

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 15% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt15%
x = pkt
7.Przedziały ufnościŚredni
n = 25, s = 5,5LU = ?x̄ = 119,5E95%

Próba 25 elementów ma średnią 119,5 i odchylenie standardowe s = 5,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 25x̄ = 119,5s = 5,595%t(24) = 2,064
górna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 20E = 499%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
−2,1792,179t = ?df = 12

13 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 2,91, a odchylenie standardowe różnic 5. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.

n = 13d̄ = 2,91sd = 5
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
z −2,57602,576

Próba 100 pomiarów ma średnią 197,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 197,6σ = 12n = 10099%
U =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy23745066186910761281xy510406080

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 42Σy = 374Σx² = 364Σy² = 24688Σxy = 2924
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy16731999221112512428149xy2025100150x = 23,5

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (23,5, 118). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(23,5, 118)
e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 12,76

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 282/7 = 40,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−18,29)² + (−3,286)² + (−10,29)² + (−0,2857)² + 16,71² + (−0,2857)² + 15,71² = 977,4

Odchylenie standardowe

s = √(977,4/6) = 12,76

Odpowiedź

s = 12,76
2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8413

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = 1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413
3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 116

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,25 + 40·0,15 = 22

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,25 + 1600·0,15 = 600

Wariancja

Var(X) = 600 − 22² = 116

Odpowiedź

Var(X) = 116
4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,04096

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,46 = 0,004096
P(X = 1) = 6·0,6·0,45 = 0,03686

Dodaj

P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096

Odpowiedź

P = 0,04096
5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,4641

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (65 − 65)/10 = 0
z₂ = (83 − 65)/10 = 1,8

Pole pomiędzy

P = Φ(1,8) − Φ(0) = 0,9641 − 0,5 = 0,4641

Odpowiedź

P = 0,4641
6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 84,4 pkt

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,15

z z tablicy

z ≈ −1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 pkt

Odpowiedź

x = 84,4 pkt
7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 121,8

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Margines błędu

E = 2,064·5,5/√25 = 2,27

Przedział

119,5 ± 2,27 → [117,2, 121,8]

Odpowiedź

górna granica = 121,8
8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 166

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (2,576·20/4)² = 165,9

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 166

Odpowiedź

n = 166
9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,098

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 5/√13 = 1,387

Statystyka testowa

t = 2,91/1,387 = 2,098

Odpowiedź

t = 2,098

Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 200,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 2,576·12/√100 = 3,091

Granica przedziału

U = 197,6 + 3,091 = 200,7

Odpowiedź

U = 200,7
11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9862

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

Sxy = 2924 − 42·374/6 = 306
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 24688 − 374²/6 = 1375

Współczynnik korelacji

r = 306/√(70·1375) = 0,9862

Odpowiedź

r = 0,9862
12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −2,05

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 556/5 = 111,2

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 531

Prosta regresji

b = 531/90 = 5,9
a = 111,2 − 5,9·22 = −18,6
ŷ = −18,6 + 5,9·x

Wartość przewidywana

ŷ = −18,6 + 5,9·23,5 = 120

Reszta

e = 118 − 120 = −2,05

Odpowiedź

e = −2,05

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1