Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 45, 20, 44, 25, 28.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 70?
μ = 60σ = 10x = 70
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 4 kul czerwonych i 7 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
4 / 7
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 11 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,6, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?
n = 11p = 0,6k = 1
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 199,8 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,8 mm
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
U 20 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −0,8 i odchylenie standardowe 3,1. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla średniej różnicy.
n = 20d̄ = −0,8sd = 3,190%t(19) = 1,729
górna granica = mmHg
8.Przedziały ufnościTrudny
Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,8 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 90 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,05?
p ≈ 0,8E = 0,0590%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 80 części ma średnią długość 50,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 10 mm. Linia 2: próba 40 części ma średnią 53,4 mm, znane odchylenie standardowe 12 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
n₁ = 80x̄₁ = 50,5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 40x̄₂ = 53,4 mmσ₂ = 12 mm
z =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 10E = 299%
n =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6Σx = 42Σy = 175Σx² = 364Σy² = 6021Σxy = 1478
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (9, 29). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(9, 29)
e =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 11,41
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 162/5 = 32,4
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 12,6² + (−12,4)² + 11,6² + (−7,4)² + (−4,4)² = 521,2
Odchylenie standardowe
s = √(521,2/4) = 11,41
Odpowiedź
s = 11,41
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,1587
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Odpowiedź
P = 0,1587
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1091
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091
Odpowiedź
P = 0,1091
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,0006921
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 1) = 11·0,61·0,410 = 11·0,6·0,0001049 = 0,0006921
Odpowiedź
P = 0,0006921
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,6554
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaryzuj
z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4
Górny ogon
P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554
Odpowiedź
P = 0,6554
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7881
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standaryzuj
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Odpowiedź
P = 0,7881
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 0,3985 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 19, t = 1,729
Margines błędu
E = 1,729·3,1/√20 = 1,199
Przedział
−0,8 ± 1,199 → [−1,999, 0,3985]
Odpowiedź
górna granica = 0,3985 mmHg
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 174
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 1,645²·0,8·0,2/0,05² = 173,2
Zaokrąglij w górę
n = 174
Odpowiedź
n = 174
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −1,317
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(10²/80 + 12²/40) = √4,85 = 2,202
Statystyka testowa
z = (50,5 − 53,4)/2,202 = −1,317
Odpowiedź
z = −1,317
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 166
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (2,576·10/2)² = 165,9
Zaokrąglij w górę
n = 166
Odpowiedź
n = 166
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9987
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 1478 − 42·175/6 = 253
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 6021 − 175²/6 = 916,8
Współczynnik korelacji
r = 253/√(70·916,8) = 0,9987
Odpowiedź
r = 0,9987
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −1,948
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 143/6 = 23,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249
Prosta regresji
b = 249/70 = 3,557
a = 23,83 − 3,557·7 = −1,067
ŷ = −1,067 + 3,557·x
Wartość przewidywana
ŷ = −1,067 + 3,557·9 = 30,95
Reszta
e = 29 − 30,95 = −1,948
Odpowiedź
e = −1,948
Punkt leży pod prostą.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1