Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 31, 45, 49, 50, 34.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 70?

μ = 60σ = 5x = 70

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 4

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 12 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,7, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?

n = 12p = 0,7k = 4

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 117,8 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117,8 s

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 100 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 1,9. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % z tych samych danych?

99%n₁ = 100E₁ = 1,995%

E₂ =

8.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 5 poletek, średni plon 77,5 kg, odchylenie standardowe 1,5 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 79,5 kg, odchylenie standardowe 4,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 77,5s₁ = 1,5n₂ = 7x̄₂ = 79,5s₂ = 4,595%t(10) = 2,228

dolna granica = kg

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 9 uczniów, średni wynik 87,5, odchylenie standardowe 11,5. Grupa 2: 17 uczniów, średni wynik 75,3, odchylenie standardowe 9,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 9x̄₁ = 87,5s₁ = 11,5n₂ = 17x̄₂ = 75,3s₂ = 9,5

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 75 z 250 pacjentów leczonych metodą A i 46 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 250x₂ = 46n₂ = 200

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (7, 27). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(7, 27)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 8,758

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 209/5 = 41,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−10,8)² + 3,2² + 7,2² + 8,2² + (−7,8)² = 306,8

Odchylenie standardowe

s = √(306,8/4) = 8,758

Odpowiedź

s = 8,758

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5177

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Odpowiedź

P = 0,5177

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,007798

Wzór dwumianowy

P(X = 4) = 495·0,7⁴·0,3⁸ = 495·0,2401·6,561 × 10⁻⁵ = 0,007798

Odpowiedź

P = 0,007798

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,02275

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaryzuj

z = (117,8 − 105)/6,403 = 2

Górny ogon

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8413

Rozkład różnicy

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaryzuj

z = (0 − 10)/10 = −1

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 1,446

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/100) = 0,7609

Nowy margines

E₂ = 1,9·0,7609 = 1,446

Odpowiedź

E₂ = 1,446

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −6,713 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (4·1,5² + 6·4,5²)/10 = 13,05

s_p = 3,612

Margines błędu

E = 2,228·3,612·√(1/5 + 1/7) = 4,713

Przedział

−2 ± 4,713 → [−6,713, 2,713]

Odpowiedź

dolna granica = −6,713 kg

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,899

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (8·11,5² + 16·9,5²)/24 = 104,3

s_p = 10,21

Błąd standardowy

SE = 10,21·√(1/9 + 1/17) = 4,209

Statystyka testowa

t = (87,5 − 75,3)/4,209 = 2,899

Odpowiedź

t = 2,899

Przy df = 24 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,064; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 1,664

Frakcje z prób

p̂₁ = 75/250 = 0,3

p̂₂ = 46/200 = 0,23

p̂ = 121/450 = 0,2689

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,2689·0,7311·(1/250 + 1/200)) = 0,04206

Statystyka testowa

z = (0,3 − 0,23)/0,04206 = 1,664

Odpowiedź

z = 1,664

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,909

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 424/6 = 70,67

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 579,3

Współczynnik determinacji

r² = 96²/(17,5·579,3) = 0,909

Odpowiedź

r² = 0,909

Około 90,9% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 4,8

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 95/5 = 19

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Prosta regresji

b = 128/40 = 3,2

a = 19 − 3,2·6 = −0,2

ŷ = −0,2 + 3,2·x

Wartość przewidywana

ŷ = −0,2 + 3,2·7 = 22,2

Reszta

e = 27 − 22,2 = 4,8

Odpowiedź

e = 4,8

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1