Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 12, 51, 19, 56, 47, 54, 21.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 90?

μ = 60σ = 15x = 90

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 6 kul czerwonych i 3 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

6 / 3

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 10 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,6, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?

n = 10p = 0,6k = 2

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 23,3 a 35 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 23,3x₂ = 35

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 100 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 3,5. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % opartego na 25 obserwacjach?

90%n₁ = 100E₁ = 3,595%n₂ = 25

E₂ =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 17. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 17E = 0,595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 11 uczniów, średni wynik 48, odchylenie standardowe 6. Grupa 2: 5 uczniów, średni wynik 43,6, odchylenie standardowe 12. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 11x̄₁ = 48s₁ = 6n₂ = 5x̄₂ = 43,6s₂ = 12

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 49 pomiarów ma średnią 74. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 74σ = 4n = 4990%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 65?

n = 6ŷ = 65

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,93

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 260/7 = 37,14

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−25,14)² + 13,86² + (−18,14)² + 18,86² + 9,857² + 16,86² + (−16,14)² = 2151

Odchylenie standardowe

s = √(2151/6) = 18,93

Odpowiedź

s = 18,93

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,4167

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Odpowiedź

P = 0,4167

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,01062

Wzór dwumianowy

P(X = 2) = 45·0,6²·0,4⁸ = 45·0,36·0,0006554 = 0,01062

Odpowiedź

P = 0,01062

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6179

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45

z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5

Pole pomiędzy

P = Φ(0,5) − Φ(−1,45) = 0,6915 − 0,07353 = 0,6179

Odpowiedź

P = 0,6179

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 551,3 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Powrót do x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Odpowiedź

x = 551,26 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 8,34

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/25) = 2,383

Nowy margines

E₂ = 3,5·2,383 = 8,34

Odpowiedź

E₂ = 8,34

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 4441

Wyznacz n

n = (1,96·17/0,5)² = 4441

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 4441

Odpowiedź

n = 4441

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,9977

Test hipotezy: statystyka testowa = (oszacowanie − wartość przy H₀)/(błąd standardowy przy H₀). Wartość p to prawdopodobieństwo, przy założeniu prawdziwości H₀, uzyskania statystyki co najmniej tak skrajnej jak zaobserwowana: pole w jednym ogonie dla jednostronnej H₁, dwukrotność pola ogona dla dwustronnej H₁. Odrzuć H₀, gdy p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (10·6² + 4·12²)/14 = 66,86

s_p = 8,177

Błąd standardowy

SE = 8,177·√(1/11 + 1/5) = 4,41

Statystyka testowa

t = (48 − 43,6)/4,41 = 0,9977

Odpowiedź

t = 0,9977

Przy df = 14 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,145; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 73,06

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,645·4/√49 = 0,94

Granica przedziału

L = 74 − 0,94 = 73,06

Odpowiedź

L = 73,06

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9987

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 401/5 = 80,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1643

Współczynnik korelacji

r = 256/√(40·1643) = 0,9987

Odpowiedź

r = 0,9987

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 25,07

Średnie

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 330/6 = 55

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

Prosta regresji

b = 172/70 = 2,457

a = 55 − 2,457·21 = 3,4

ŷ = 3,4 + 2,457·x

Wyznacz x

x = (65 − 3,4)/2,457 = 25,07

Odpowiedź

x = 25,07

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1