Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 14, 12, 60, 10, 60, 48, 30.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 44?

μ = 50σ = 5x = 44

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 7 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,7, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 5 poprawnych odpowiedzi?

n = 7p = 0,7k = 5

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy pudeł są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 12 kg i odchyleniem standardowym 0,8 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 4 z nich będzie mniejsza niż 50,4 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4< 50.4 kg

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 25% wszystkich wartości (25. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 15 elementów ma średnią 25,5 i odchylenie standardowe s = 9,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 15x̄ = 25,5s = 9,590%t(14) = 1,761

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 36. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 36E = 199%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 81 studentów ma średni wynik 100,8 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,8s = 4n = 81

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 25 pomiarów ma średnią 46. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 46σ = 10n = 2595%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 30?

n = 5ŷ = 30

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 22,44

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 234/7 = 33,43

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−19,43)² + (−21,43)² + 26,57² + (−23,43)² + 26,57² + 14,57² + (−3,429)² = 3022

Odchylenie standardowe

s = √(3022/6) = 22,44

Odpowiedź

s = 22,44

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,8849

Standaryzuj

z = −1,2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Odpowiedź

P = 0,8849

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 0,8047

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Wariancja

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Odpowiedź

σ = 0,8047

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3177

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 5) = 21·0,7⁵·0,3² = 21·0,1681·0,09 = 0,3177

Odpowiedź

P = 0,3177

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9332

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 48 kg, σ_T = 0,8·√4 = 1,6 kg

Standaryzuj

z = (50,4 − 48)/1,6 = 1,5

Prawdopodobieństwo

P = Φ(1,5) = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 246,6 g

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Powrót do x

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Odpowiedź

x = 246,63 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 29,82

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Margines błędu

E = 1,761·9,5/√15 = 4,32

Przedział

25,5 ± 4,32 → [21,18, 29,82]

Odpowiedź

górna granica = 29,82

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 8600

Wyznacz n

n = (2,576·36/1)² = 8600

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 8600

Odpowiedź

n = 8600

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Statystyka testowa

t = (100,8 − 100)/0,4444 = 1,8

Odpowiedź

t = 1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 42,08

Margines błędu

E = 1,96·10/√25 = 3,92

Granica przedziału

L = 46 − 3,92 = 42,08

Odpowiedź

L = 42,08

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,981

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 99/6 = 16,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 145,5

Współczynnik korelacji

r = −49,5/√(17,5·145,5) = −0,981

Odpowiedź

r = −0,981

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 6,878

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 132/5 = 26,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

Prosta regresji

b = 164/40 = 4,1

a = 26,4 − 4,1·6 = 1,8

ŷ = 1,8 + 4,1·x

Wyznacz x

x = (30 − 1,8)/4,1 = 6,878

Odpowiedź

x = 6,878

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1