Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 49, 22, 59, 45, 20.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży powyżej 72?

μ = 60σ = 8x = 72

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,05, 0,2

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 5 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 5p = 0,6

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0132. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,0132

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 20% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 9 elementów ma średnią 40,5 i odchylenie standardowe s = 1. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 9x̄ = 40,5s = 190%t(8) = 1,86

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 25. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 25E = 390%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 25 studentów ma średni wynik 196,6 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,6s = 12n = 25

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80 przeprowadza się na poziomie α = 0,10 na próbie o liczebności 36; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 6. W rzeczywistości średnia wynosi 81,8. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 80μ = 81,8σ = 6n = 36α = 0,10

β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (21,5, 75). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(21,5, 75)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,22

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 195/5 = 39

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 10² + (−17)² + 20² + 6² + (−19)² = 1186

Odchylenie standardowe

s = √(1186/4) = 17,22

Odpowiedź

s = 17,22

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,06681

Standaryzuj

z = 1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Odpowiedź

P = 0,06681

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,41

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,05 + 4·0,2 = 1,75

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,05 + 16·0,2 = 5,05

Wariancja

Var(X) = 5,05 − 1,75² = 1,987

σ = √1,987 = 1,41

Odpowiedź

σ = 1,41

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,08704

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,4⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5·0,6·0,4⁴ = 0,0768

Dodaj

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Odpowiedź

P = 0,08704

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 2,22

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,0132 = 0,9868

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9868 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 2,22

Odpowiedź

z = 2,22

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 466 h

Pole po lewej

Φ(z) = 0,2

z z tablicy

z ≈ −0,84

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 − 0,84·40 = 466 h

Odpowiedź

x = 466 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 41,12

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margines błędu

E = 1,86·1/√9 = 0,62

Przedział

40,5 ± 0,62 → [39,88, 41,12]

Odpowiedź

górna granica = 41,12

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 188

Wyznacz n

n = (1,645·25/3)² = 187,9

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 188

Odpowiedź

n = 188

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,417

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Statystyka testowa

t = (196,6 − 200)/2,4 = −1,417

Odpowiedź

t = −1,417

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 30,22 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 80 + 1,282·1 = 81,28

z przy prawdziwej średniej

z = (81,28 − 81,8)/1 = −0,518

Błąd II rodzaju

moc = P(Z > −0,518) = 69,78%

β = 100% − 69,78% = 30,22%

Odpowiedź

β = 30,22%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9355

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 408/5 = 81,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 713,2

Współczynnik korelacji

r = 158/√(40·713,2) = 0,9355

Odpowiedź

r = 0,9355

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 2,586

Średnie

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 507/6 = 84,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 634,5

Prosta regresji

b = 634,5/157,5 = 4,029

a = 84,5 − 4,029·24,5 = −14,2

ŷ = −14,2 + 4,029·x

Wartość przewidywana

ŷ = −14,2 + 4,029·21,5 = 72,41

Reszta

e = 75 − 72,41 = 2,586

Odpowiedź

e = 2,586

Punkt leży nad prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1