Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 44, 56, 14, 27, 17, 38, 25.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 84.

μ = 60σ = 12x = 84

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 6 kul czerwonych i 7 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

6 / 7

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 5 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?

n = 5p = 0,5k = 2

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 244 a 259,25 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 259,25

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 95% wszystkich wartości (95. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 29 i odchylenie standardowe s = 8,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 21x̄ = 29s = 8,590%t(20) = 1,725

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,1 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,05?

p ≈ 0,1E = 0,0595%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 117,8 i odchylenie standardowe z próby 15. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,8s = 15n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 25 pomiarów ma średnią 497,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 12. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 99 % dla średniej.

x̄ = 497,6σ = 12n = 2599%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 48?

n = 6ŷ = 48

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,15

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 221/7 = 31,57

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 12,43² + 24,43² + (−17,57)² + (−4,571)² + (−14,57)² + 6,429² + (−6,571)² = 1378

Odchylenie standardowe

s = √(1378/6) = 15,15

Odpowiedź

s = 15,15

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 2

Standaryzuj

z = (84 − 60)/12 = 2

Odpowiedź

z = 2

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1923

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Odpowiedź

P = 0,1923

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3125

Wzór dwumianowy

P(X = 2) = 10·0,5²·0,5³ = 10·0,25·0,125 = 0,3125

Odpowiedź

P = 0,3125

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8528

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (259,25 − 250)/5 = 1,85

Pole pomiędzy

P = Φ(1,85) − Φ(−1,2) = 0,9678 − 0,1151 = 0,8528

Odpowiedź

P = 0,8528

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 565,8 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Powrót do x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Odpowiedź

x = 565,8 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 32,2

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margines błędu

E = 1,725·8,5/√21 = 3,2

Przedział

29 ± 3,2 → [25,8, 32,2]

Odpowiedź

górna granica = 32,2

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 139

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 1,96²·0,1·0,9/0,05² = 138,3

Zaokrąglij w górę

n = 139

Odpowiedź

n = 139

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,88

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Statystyka testowa

t = (117,8 − 120)/2,5 = −0,88

Odpowiedź

t = −0,88

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 503,8

Margines błędu

E = 2,576·12/√25 = 6,182

Granica przedziału

U = 497,6 + 6,182 = 503,8

Odpowiedź

U = 503,8

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,5911

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 281/6 = 46,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 150,8

Współczynnik determinacji

r² = 39,5²/(17,5·150,8) = 0,5911

Odpowiedź

r² = 0,5911

Około 59,11% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 5,397

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 235/6 = 39,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81,5

Prosta regresji

b = 81,5/17,5 = 4,657

a = 39,17 − 4,657·3,5 = 22,87

ŷ = 22,87 + 4,657·x

Wyznacz x

x = (48 − 22,87)/4,657 = 5,397

Odpowiedź

x = 5,397

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1