Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 26, 13, 21, 38, 13, 24, 47.
n = 7
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 45,6.
μ = 60σ = 12x = 45,6
z =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2
Var(X) =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 1. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35Y = 5X + 1
σY =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 240 a 251,25 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 250σ = 5x1 = 240x2 = 251,25
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 25% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 250 gσ = 5 g25%
x = g
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 15 elementów ma średnią 47 i odchylenie standardowe s = 9. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 15x̄ = 47s = 995%t(14) = 2,145
E =
8.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 6 poletek, średni plon 10,5 kg, odchylenie standardowe 1 kg. Grupa poletek 2: 8 poletek, średnia 7,5 kg, odchylenie standardowe 5,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 6x̄₁ = 10,5s₁ = 1n₂ = 8x̄₂ = 7,5s₂ = 5,595%t(12) = 2,179
dolna granica = kg
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
6 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 8,33, a odchylenie standardowe różnic 8,5. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 8,33sd = 8,5
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 80 przeciw H₁: μ > 80 przeprowadza się na poziomie α = 0,05 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 10. W rzeczywistości średnia wynosi 82,4. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.
μ₀ = 80μ = 82,4σ = 10n = 100α = 0,05
β = %
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 38?
n = 5ŷ = 38
x =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 12,6
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 182/7 = 26
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 0² + (−13)² + (−5)² + 12² + (−13)² + (−2)² + 21² = 952
Odchylenie standardowe
s = √(952/6) = 12,6
Odpowiedź
s = 12,6
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: z = −1,2
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (45,6 − 60)/12 = −1,2
Odpowiedź
z = −1,2
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: Var(X) = 1,147
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Średnia
μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,2 = 1,45
Średnia kwadratów
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,2 = 3,25
Wariancja
Var(X) = 3,25 − 1,45² = 1,147
Odpowiedź
Var(X) = 1,147
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 62,2
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 24,5, Var(X) = 154,8, σX = 12,44
Zmiana liniowa
σY = |5|·12,44 = 62,2
Odpowiedź
σY = 62,2
Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·24,5 + 1 = 123,5.
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,576
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (240 − 250)/5 = −2
z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25
Pole pomiędzy
P = Φ(0,25) − Φ(−2) = 0,5987 − 0,02275 = 0,576
Odpowiedź
P = 0,576
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 253,4 g
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,75
z z tablicy
z ≈ 0,67
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g
Odpowiedź
x = 253,4 g
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 4,985
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Margines błędu
E = 2,145·9/√15 = 4,985
Odpowiedź
E = 4,985
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −2,001 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (5·1² + 7·5,5²)/12 = 18,06
sp = 4,25
Margines błędu
E = 2,179·4,25·√(1/6 + 1/8) = 5,001
Przedział
3 ± 5,001 → [−2,001, 8,001]
Odpowiedź
dolna granica = −2,001 kg
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 2,4
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 8,5/√6 = 3,47
Statystyka testowa
t = 8,33/3,47 = 2,4
Odpowiedź
t = 2,4
Przy df = 5 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,571; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: β = 22,51 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 80 + 1,645·1 = 81,64
z przy prawdziwej średniej
z = (81,64 − 82,4)/1 = −0,755
Błąd II rodzaju
moc = P(Z > −0,755) = 77,49%
β = 100% − 77,49% = 22,51%
Odpowiedź
β = 22,51%
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9965
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 530/6 = 88,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 406
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2371
Współczynnik korelacji
r = 406/√(70·2371) = 0,9965
Odpowiedź
r = 0,9965
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 2,87
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 226/5 = 45,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Prosta regresji
b = 92/40 = 2,3
a = 45,2 − 2,3·6 = 31,4
ŷ = 31,4 + 2,3·x
Wyznacz x
x = (38 − 31,4)/2,3 = 2,87
Odpowiedź
x = 2,87
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1