Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 49, 17, 32, 23, 11, 44, 52.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 66?

μ = 60σ = 15x = 66

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,3, 0,05

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €5. Wygrywasz €15 z prawdopodobieństwem 0,25 i €100 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €5€15: p = 0,25€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,8980. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,8980

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 25% wszystkich wartości (25. percentyl).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 13 elementów ma średnią 61 i odchylenie standardowe s = 2. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 13x̄ = 61s = 290%t(12) = 1,782

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 16 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 4,7 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 15 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 6,262, a 2,5 % powyżej 27,488.

n = 16s = 4,7 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 121,7 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,7s = 10n = 49

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 100 pomiarów ma średnią 70,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 20. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 70,8σ = 20n = 10095%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,22

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 228/7 = 32,57

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 16,43² + (−15,57)² + (−0,5714)² + (−9,571)² + (−21,57)² + 11,43² + 19,43² = 1578

Odchylenie standardowe

s = √(1578/6) = 16,22

Odpowiedź

s = 16,22

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6554

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Odpowiedź

P = 0,6554

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,748

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,1 + 4·0,3 + 5·0,05 = 2,55

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,1 + 16·0,3 + 25·0,05 = 8,25

Wariancja

Var(X) = 8,25 − 2,55² = 1,748

Odpowiedź

Var(X) = 1,748

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −0,25 €

Wyniki netto

G: 10 (p = 0,25), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,74)

Wartość oczekiwana

E(G) = 10·0,25 + 95·0,01 − 5·0,74 = −0,25 €

Odpowiedź

E(G) = −0,25 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −1,27

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,8980 = 0,1020

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,1020 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −1,27

Odpowiedź

z = −1,27

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 58,26 pkt

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Powrót do x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 pkt

Odpowiedź

x = 58,26 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 61,99

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Margines błędu

E = 1,782·2/√13 = 0,9885

Przedział

61 ± 0,9885 → [60,01, 61,99]

Odpowiedź

górna granica = 61,99

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 7,274 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 15·4,7² = 331,4

Granice dla σ²

331,4/27,488 = 12,05

331,4/6,262 = 52,91

Granica dla σ

σ = √52,91 = 7,274 µm

Odpowiedź

σ = 7,274 µm

Przedział 95 % dla σ: [3,472, 7,274] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,19

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Statystyka testowa

t = (121,7 − 120)/1,429 = 1,19

Odpowiedź

t = 1,19

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 74,72

Margines błędu

E = 1,96·20/√100 = 3,92

Granica przedziału

U = 70,8 + 3,92 = 74,72

Odpowiedź

U = 74,72

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9319

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 129/6 = 21,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −53,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 175,5

Współczynnik determinacji

r² = −53,5²/(17,5·175,5) = 0,9319

Odpowiedź

r² = 0,9319

Około 93,19% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 50,42

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 355/6 = 59,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76,5

Prosta regresji

b = 76,5/17,5 = 4,371

a = 59,17 − 4,371·3,5 = 43,87

ŷ = 43,87 + 4,371·x

Prognoza

ŷ = 43,87 + 4,371·1,5 = 50,42

Odpowiedź

ŷ = 50,42

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1