Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 19, 52, 15, 53, 22.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży powyżej 60?
μ = 50σ = 8x = 60
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
W worku jest 4 kul czerwonych i 5 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?
4 / 5
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 8p = 0,7
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 62 a 85 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 62x2 = 85
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 25% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 65 pktσ = 10 pkt25%
x = pkt
7.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 40 telefonów, średnia 106,5 h, znane odchylenie standardowe 20 h. Model 2: 50 telefonów, średnia 113,5 h, znane odchylenie standardowe 10 h. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 40x̄₁ = 106,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 50x̄₂ = 113,5 hσ₂ = 10 h90%
górna granica = h
8.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 30 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 9 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 29 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 16,047, a 2,5 % powyżej 45,722.
n = 30s = 9 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 250; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 18. Losowa próba 144 obserwacji ma średnią 247,96. Przetestuj H₀: μ = 250 przeciw H₁: μ ≠ 250. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 250σ = 18n = 144x̄ = 247,96H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z dla H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ < 100 przeprowadza się na poziomie α = 0.10 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 30. W rzeczywistości średnia wynosi 94.3. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.
μ₀ = 100μ = 94,3σ = 30n = 100α = 0,10
1 − β = %
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 57?
n = 5ŷ = 57
x =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 18,7
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 161/5 = 32,2
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−13,2)² + 19,8² + (−17,2)² + 20,8² + (−10,2)² = 1399
Odchylenie standardowe
s = √(1399/4) = 18,7
Odpowiedź
s = 18,7
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,1056
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Odpowiedź
P = 0,1056
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1667
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pierwsze i drugie losowanie
P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0,1667
Odpowiedź
P = 0,1667
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,00129
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,38 = 6,561 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 8·0,7·0,37 = 0,001225
Dodaj
P = 6,561 × 10⁻⁵ + 0,001225 = 0,00129
Odpowiedź
P = 0,00129
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,5952
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3
z₂ = (85 − 65)/10 = 2
Pole pomiędzy
P = Φ(2) − Φ(−0,3) = 0,9772 − 0,3821 = 0,5952
Odpowiedź
P = 0,5952
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 58,3 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,25
z z tablicy
z ≈ −0,67
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 65 − 0,67·10 = 58,3 pkt
Odpowiedź
x = 58,3 pkt
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −1,302 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 106,5 − 113,5 = −7
Błąd standardowy
SE = √(20²/40 + 10²/50) = 3,464
Margines błędu
E = 1,645·3,464 = 5,698
Przedział
−7 ± 5,698 → [−12,7, −1,302]
Odpowiedź
górna granica = −1,302 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 12,1 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 29·9² = 2349
Granice dla σ²
2349/45,722 = 51,38
2349/16,047 = 146,4
Granica dla σ
σ = √146,4 = 12,1 µm
Odpowiedź
σ = 12,1 µm
Przedział 95 % dla σ: [7,168, 12,1] µm.
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,1738
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (247,96 − 250)/1,5 = −1,36
Pole ogona
Φ(1,36) = 0,9131
1 − Φ(1,36) = 0,0869
Wartość p
p = 2·0,0869 = 0,1738
Odpowiedź
p = 0,1738
p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: 1 − β = 73,17 %
Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Krytyczna średnia z próby
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 100 − 1,282·3 = 96,15
z przy prawdziwej średniej
z = (96,15 − 94,3)/3 = 0,618
Moc
moc = P(Z < 0.618) = 73.17%
1 − β = 73,17%
Odpowiedź
1 − β = 73,17%
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9484
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 103/6 = 17,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 108,8
Współczynnik determinacji
r² = −42,5²/(17,5·108,8) = 0,9484
Odpowiedź
r² = 0,9484
Około 94,84% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 6,083
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 272/5 = 54,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96
Prosta regresji
b = 96/40 = 2,4
a = 54,4 − 2,4·5 = 42,4
ŷ = 42,4 + 2,4·x
Wyznacz x
x = (57 − 42,4)/2,4 = 6,083
Odpowiedź
x = 6,083
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1