Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 29, 28, 38, 40, 12, 14.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 45.

μ = 60σ = 15x = 45

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,05, 0,1, 0,25, 0,35

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 8 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 8p = 0,3

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 8 z nich będzie mniejsza niż 202,1 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8< 202.1 kg

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 15% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 99 % dla średniej, oparty na 100 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 4,3. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 900 obserwacji?

99%n₁ = 100E₁ = 4,3n₂ = 900

E₂ =

8.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 20 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 5,1 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 19 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 8,907, a 2,5 % powyżej 32,852.

n = 20s = 5,1 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 64 studentów ma średni wynik 199,1 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199,1s = 8n = 64

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 100 pomiarów ma średnią 202,3. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 202,3σ = 15n = 10095%

L =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5,5, 17). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 17)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 11,74

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 161/6 = 26,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 2,167² + 1,167² + 11,17² + 13,17² + (−14,83)² + (−12,83)² = 688,8

Odchylenie standardowe

s = √(688,8/5) = 11,74

Odpowiedź

s = 11,74

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1

Standaryzuj

z = (45 − 60)/15 = −1

Odpowiedź

z = −1

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,594

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,1 + 4·0,25 + 5·0,35 = 3,4

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,1 + 16·0,25 + 25·0,35 = 14,1

Wariancja

Var(X) = 14,1 − 3,4² = 2,54

σ = √2,54 = 1,594

Odpowiedź

σ = 1,594

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2553

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,7⁸ = 0,05765

P(X = 1) = 8·0,3·0,7⁷ = 0,1977

Dodaj

P = 0,05765 + 0,1977 = 0,2553

Odpowiedź

P = 0,2553

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9306

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 200 kg, σ_T = 0,5·√8 = 1,414 kg

Standaryzuj

z = (202,1 − 200)/1,414 = 1,48

Prawdopodobieństwo

P = Φ(1,48) = 0,9306

Odpowiedź

P = 0,9306

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 458 h

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,15

z z tablicy

z ≈ −1,04

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Odpowiedź

x = 458 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 1,433

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/900) = 0,3333

Nowy margines

E₂ = 4,3·0,3333 = 1,433

Odpowiedź

E₂ = 1,433

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 7,449 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 19·5,1² = 494,2

Granice dla σ²

494,2/32,852 = 15,04

494,2/8,907 = 55,48

Granica dla σ

σ = √55,48 = 7,449 µm

Odpowiedź

σ = 7,449 µm

Przedział 95 % dla σ: [3,879, 7,449] µm.

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,9

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Statystyka testowa

t = (199,1 − 200)/1 = −0,9

Odpowiedź

t = −0,9

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 199,4

Margines błędu

E = 1,96·15/√100 = 2,94

Granica przedziału

L = 202,3 − 2,94 = 199,4

Odpowiedź

L = 199,4

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9905

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 486/5 = 97,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 402

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1813

Współczynnik determinacji

r² = 402²/(90·1813) = 0,9905

Odpowiedź

r² = 0,9905

Około 99,05% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −3,11

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 145/6 = 24,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35,5

Prosta regresji

b = −35,5/17,5 = −2,029

a = 24,17 − (−2,029)·3,5 = 31,27

ŷ = 31,27 − 2,029·x

Wartość przewidywana

ŷ = 31,27 + (−2,029)·5,5 = 20,11

Reszta

e = 17 − 20,11 = −3,11

Odpowiedź

e = −3,11

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1