Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 12, 13, 31, 27, 20, 27.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 25. Wyznacz wynik z z dla wyniku 487,5.

μ = 500σ = 25x = 487,5

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,15

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €3. Wygrywasz €9 z prawdopodobieństwem 0,2 i €30 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €3€9: p = 0,2€30: p = 0,05

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 30,5 a 35,3 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 35,3

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 75% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

7.Przedziały ufnościŚredni

U 6 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 4,4 i odchylenie standardowe 3,4. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.

n = 6d̄ = 4,4s_d = 3,499%t(5) = 4,032

górna granica = mmHg

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 32. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 32E = 195%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

11 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 2,98, a odchylenie standardowe różnic 3,3. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 2,98s_d = 3,3

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 23 z 150 pacjentów leczonych metodą A i 14 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 14n₂ = 200

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 9?

n = 5ŷ = 9

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 7,941

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 130/6 = 21,67

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−9,667)² + (−8,667)² + 9,333² + 5,333² + (−1,667)² + 5,333² = 315,3

Odchylenie standardowe

s = √(315,3/5) = 7,941

Odpowiedź

s = 7,941

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −0,5

Standaryzuj

z = (487,5 − 500)/25 = −0,5

Odpowiedź

z = −0,5

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,005

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,15 = 2,3

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,15 = 6,3

Wariancja

Var(X) = 6,3 − 2,3² = 1,01

σ = √1,01 = 1,005

Odpowiedź

σ = 1,005

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 0,3 €

Wyniki netto

G: 6 (p = 0,2), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,75)

Wartość oczekiwana

E(G) = 6·0,2 + 27·0,05 − 3·0,75 = 0,3 €

Odpowiedź

E(G) = 0,3 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,3075

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55

Pole pomiędzy

P = Φ(0,55) − Φ(−0,25) = 0,7088 − 0,4013 = 0,3075

Odpowiedź

P = 0,3075

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 182,7 cm

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,75

z z tablicy

z ≈ 0,67

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Odpowiedź

x = 182,7 cm

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 9,997 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 5, t = 4,032

Margines błędu

E = 4,032·3,4/√6 = 5,597

Przedział

4,4 ± 5,597 → [−1,197, 9,997]

Odpowiedź

górna granica = 9,997 mmHg

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 3934

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·32/1)² = 3934

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 3934

Odpowiedź

n = 3934

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,995

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 3,3/√11 = 0,995

Statystyka testowa

t = 2,98/0,995 = 2,995

Odpowiedź

t = 2,995

Przy df = 10 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,228; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 2,509

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 23/150 = 0,1533

p̂₂ = 14/200 = 0,07

p̂ = 37/350 = 0,1057

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,1057·0,8943·(1/150 + 1/200)) = 0,03321

Statystyka testowa

z = (0,1533 − 0,07)/0,03321 = 2,509

Odpowiedź

z = 2,509

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,8477

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 268/5 = 53,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 483,2

Współczynnik determinacji

r² = 128²/(40·483,2) = 0,8477

Odpowiedź

r² = 0,8477

Około 84,77% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,769

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 53/5 = 10,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

Prosta regresji

b = 52/40 = 1,3

a = 10,6 − 1,3·6 = 2,8

ŷ = 2,8 + 1,3·x

Wyznacz x

x = (9 − 2,8)/1,3 = 4,769

Odpowiedź

x = 4,769

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1