Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 11, 59, 39, 27, 47.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 60. Jaka część P wartości leży poniżej 575?
μ = 500σ = 60x = 575
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 8 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 8
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 20. Wyznacz odchylenie standardowe σY zmiennej Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,25Y = 5X + 20
σY =
5.Rozkład normalnyŚredni
Masy śrub są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 40 g i odchyleniem standardowym 1,2 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 4 z nich przekroczy 164,8 g. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4> 164,8 g
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 5% wszystkich wartości (5. percentyl).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = pkt
7.Przedziały ufnościŚredni
Próba 21 elementów ma średnią 43 i odchylenie standardowe s = 11. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 21x̄ = 43s = 1190%t(20) = 1,725
górna granica =
8.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 15 poletek, średni plon 84,5 kg, odchylenie standardowe 8,5 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 91,5 kg, odchylenie standardowe 3,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 15x̄₁ = 84,5s₁ = 8,5n₂ = 7x̄₂ = 91,5s₂ = 3,599%t(20) = 2,845
górna granica = kg
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 64 studentów ma średni wynik 118,2 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 118,2s = 8n = 64
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 81 pomiarów ma średnią 76,5. Odchylenie standardowe populacji wynosi 15. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 76,5σ = 15n = 8190%
U =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 19?
n = 5ŷ = 19
x =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 18,46
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 183/5 = 36,6
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−25,6)² + 22,4² + 2,4² + (−9,6)² + 10,4² = 1363
Odchylenie standardowe
s = √(1363/4) = 18,46
Odpowiedź
s = 18,46
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,8944
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Odpowiedź
P = 0,8944
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7674
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Odpowiedź
P = 0,7674
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: σY = 5,585
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Rozrzut X
μ = 1,55, Var(X) = 1,247, σX = 1,117
Zmiana liniowa
σY = |5|·1,117 = 5,585
Odpowiedź
σY = 5,585
Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·1,55 + 20 = 27,75.
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,02275
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 160 g, σT = 1,2·√4 = 2,4 g
Standaryzuj
z = (164,8 − 160)/2,4 = 2
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(2) = 0,02275
Odpowiedź
P = 0,02275
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 75,33 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Powrót do x
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 pkt
Odpowiedź
x = 75,33 pkt
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 47,14
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Margines błędu
E = 1,725·11/√21 = 4,141
Przedział
43 ± 4,141 → [38,86, 47,14]
Odpowiedź
górna granica = 47,14
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 2,592 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (14·8,5² + 6·3,5²)/20 = 54,25
sp = 7,365
Margines błędu
E = 2,845·7,365·√(1/15 + 1/7) = 9,592
Przedział
−7 ± 9,592 → [−16,59, 2,592]
Odpowiedź
górna granica = 2,592 kg
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,8
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Statystyka testowa
t = (118,2 − 120)/1 = −1,8
Odpowiedź
t = −1,8
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 79,24
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·15/√81 = 2,742
Granica przedziału
U = 76,5 + 2,742 = 79,24
Odpowiedź
U = 79,24
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9794
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 122/6 = 20,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44
Syy = Σ(y − ȳ)² = 115,3
Współczynnik korelacji
r = −44/√(17,5·115,3) = −0,9794
Odpowiedź
r = −0,9794
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 4,375
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16
Prosta regresji
b = −16/10 = −1,6
a = 21,2 − (−1,6)·3 = 26
ŷ = 26 − 1,6·x
Wyznacz x
x = (19 − 26)/(−1,6) = 4,375
Odpowiedź
x = 4,375
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1