Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 36, 27, 19, 24, 26, 50.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 100. Wyznacz wynik z z dla wyniku 625.

μ = 500σ = 100x = 625

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 8p = 0,5k = 1

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 462 a 532 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 462x₂ = 532

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 70% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h70%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 20 elementów ma średnią 77,5 i odchylenie standardowe s = 5,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 20x̄ = 77,5s = 5,599%t(19) = 2,861

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?

σ = 24E = 399%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 98,8 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,8s = 4n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 16 pomiarów ma średnią 498,3. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 498,3σ = 5n = 1695%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 21Σy = 108Σx² = 91Σy² = 2138Σxy = 321

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 70?

n = 6ŷ = 70

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 11,11

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 182/6 = 30,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 5,667² + (−3,333)² + (−11,33)² + (−6,333)² + (−4,333)² + 19,67² = 617,3

Odchylenie standardowe

s = √(617,3/5) = 11,11

Odpowiedź

s = 11,11

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,25

Standaryzuj

z = (625 − 500)/100 = 1,25

Odpowiedź

z = 1,25

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 3,56

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,35 + 6·0,05 = 2,2

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,35 + 36·0,05 = 8,4

Wariancja

Var(X) = 8,4 − 2,2² = 3,56

Odpowiedź

Var(X) = 3,56

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,03125

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 8·0,5¹·0,5⁷ = 8·0,5·0,007813 = 0,03125

Odpowiedź

P = 0,03125

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6171

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95

z₂ = (532 − 500)/40 = 0,8

Pole pomiędzy

P = Φ(0,8) − Φ(−0,95) = 0,7881 − 0,1711 = 0,6171

Odpowiedź

P = 0,6171

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 521 h

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,7

z z tablicy

z ≈ 0,52

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 + 0,52·40 = 521 h

Odpowiedź

x = 521 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 81,02

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Margines błędu

E = 2,861·5,5/√20 = 3,519

Przedział

77,5 ± 3,519 → [73,98, 81,02]

Odpowiedź

górna granica = 81,02

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 425

Wyznacz n

n = (2,576·24/3)² = 424,7

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 425

Odpowiedź

n = 425

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statystyka testowa

t = (98,8 − 100)/0,6667 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 500,8

Margines błędu

E = 1,96·5/√16 = 2,45

Granica przedziału

U = 498,3 + 2,45 = 500,8

Odpowiedź

U = 500,8

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9783

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 321 − 21·108/6 = −57

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2138 − 108²/6 = 194

Współczynnik korelacji

r = −57/√(17,5·194) = −0,9783

Odpowiedź

r = −0,9783

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,636

Średnie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 415/6 = 69,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107,5

Prosta regresji

b = 107,5/17,5 = 6,143

a = 69,17 − 6,143·3,5 = 47,67

ŷ = 47,67 + 6,143·x

Wyznacz x

x = (70 − 47,67)/6,143 = 3,636

Odpowiedź

x = 3,636

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1