Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
2Zadania do ćwiczenia
1.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 21, 35, 10, 12, 52.
n = 5
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 62.
μ = 60σ = 5x = 62
z =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 4
P =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 12 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 12p = 0,7
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 120 mm i odchyleniem standardowym 0,3 mm; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 80 mm i odchyleniem standardowym 0,4 mm. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 199,3 mm. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,3 mm
P =
6.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 75% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt75%
x = pkt
7.Przedziały ufnościŚredni
U 13 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią 2,7 i odchylenie standardowe 5,4. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.
n = 13d̄ = 2,7sd = 5,499%t(12) = 3,055
górna granica = mmHg
8.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 23 poletek, średni plon 88,5 kg, odchylenie standardowe 10 kg. Grupa poletek 2: 8 poletek, średnia 97,5 kg, odchylenie standardowe 3 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 23x̄₁ = 88,5s₁ = 10n₂ = 8x̄₂ = 97,5s₂ = 399%t(29) = 2,756
dolna granica = kg
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 100 studentów ma średni wynik 198,9 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 198,9s = 5n = 100
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 64 pomiarów ma średnią 51,9. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.
x̄ = 51,9σ = 10n = 6495%
U =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 15Σy = 88Σx² = 55Σy² = 1696Σxy = 226
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (1,5, 33). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 33)
e =
3Roztwory
1.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 17,56
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 130/5 = 26
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−5)² + 9² + (−16)² + (−14)² + 26² = 1234
Odchylenie standardowe
s = √(1234/4) = 17,56
Odpowiedź
s = 17,56
2.Statystyka opisowa
Odpowiedź: z = 0,4
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (62 − 60)/5 = 0,4
Odpowiedź
z = 0,4
3.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5177
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Odpowiedź
P = 0,5177
4.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 1,541 × 10⁻⁵
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,312 = 5,314 × 10⁻⁷
P(X = 1) = 12·0,7·0,311 = 1,488 × 10⁻⁵
Dodaj
P = 5,314 × 10⁻⁷ + 1,488 × 10⁻⁵ = 1,541 × 10⁻⁵
Odpowiedź
P = 1,541 × 10⁻⁵
5.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,9192
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaryzuj
z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4
Górny ogon
P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192
Odpowiedź
P = 0,9192
6.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 110,1 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,75
z z tablicy
z ≈ 0,67
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 + 0,67·15 = 110,1 pkt
Odpowiedź
x = 110,1 pkt
7.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 7,275 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 12, t = 3,055
Margines błędu
E = 3,055·5,4/√13 = 4,575
Przedział
2,7 ± 4,575 → [−1,875, 7,275]
Odpowiedź
górna granica = 7,275 mmHg
8.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −18,99 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (22·10² + 7·3²)/29 = 78,03
sp = 8,834
Margines błędu
E = 2,756·8,834·√(1/23 + 1/8) = 9,993
Przedział
−9 ± 9,993 → [−18,99, 0,993]
Odpowiedź
dolna granica = −18,99 kg
9.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5
Statystyka testowa
t = (198,9 − 200)/0,5 = −2,2
Odpowiedź
t = −2,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
10.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 54,35
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,96·10/√64 = 2,45
Granica przedziału
U = 51,9 + 2,45 = 54,35
Odpowiedź
U = 54,35
11.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9904
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 226 − 15·88/5 = −38
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1696 − 88²/5 = 147,2
Współczynnik korelacji
r = −38/√(10·147,2) = −0,9904
Odpowiedź
r = −0,9904
12.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 4,871
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 141/6 = 23,5
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5
Prosta regresji
b = −40,5/17,5 = −2,314
a = 23,5 − (−2,314)·3,5 = 31,6
ŷ = 31,6 − 2,314·x
Wartość przewidywana
ŷ = 31,6 + (−2,314)·1,5 = 28,13
Reszta
e = 33 − 28,13 = 4,871
Odpowiedź
e = 4,871
Punkt leży nad prostą.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1