Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 59, 39, 25, 47, 10.

n = 5

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 75?

μ = 70σ = 5x = 75

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 5

P =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = −2X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,25, 0,15, 0,35, 0,15Y = −2X + 4

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,3557. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,3557

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 60 telefonów, średnia 102,5 h, znane odchylenie standardowe 15 h. Model 2: 100 telefonów, średnia 111,5 h, znane odchylenie standardowe 13 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 102,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 100x̄₂ = 111,5 hσ₂ = 13 h99%

dolna granica = h

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 17. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 17E = 195%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 36 studentów ma średni wynik 73,8 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,8s = 4n = 36

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 98 z 150 pacjentów leczonych metodą A i 61 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 61n₂ = 120

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 7?

n = 5ŷ = 7

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 19,08

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 180/5 = 36

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 23² + 3² + (−11)² + 11² + (−26)² = 1456

Odchylenie standardowe

s = √(1456/4) = 19,08

Odpowiedź

s = 19,08

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1587

Standaryzuj

z = 1

Tablica rozkładu normalnego

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Odpowiedź

P = 0,1587

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5981

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Odpowiedź

P = 0,5981

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 2,498

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 3,2, Var(X) = 1,56, σ_X = 1,249

Zmiana liniowa

σ_Y = |−2|·1,249 = 2,498

Odpowiedź

σ_Y = 2,498

Średnia się przesuwa: E(Y) = −2·3,2 + 4 = −2,4.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 0,37

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,3557 = 0,6443

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,6443 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 0,37

Odpowiedź

z = 0,37

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −15,01 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 102,5 − 111,5 = −9

Błąd standardowy

SE = √(15²/60 + 13²/100) = 2,332

Margines błędu

E = 2,576·2,332 = 6,008

Przedział

−9 ± 6,008 → [−15,01, −2,992]

Odpowiedź

dolna granica = −15,01 h

Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1111

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·17/1)² = 1110

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1111

Odpowiedź

n = 1111

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statystyka testowa

t = (73,8 − 75)/0,6667 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 2,406

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 98/150 = 0,6533

p̂₂ = 61/120 = 0,5083

p̂ = 159/270 = 0,5889

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,5889·0,4111·(1/150 + 1/120)) = 0,06026

Statystyka testowa

z = (0,6533 − 0,5083)/0,06026 = 2,406

Odpowiedź

z = 2,406

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9969

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 580/5 = 116

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 405

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1834

Współczynnik korelacji

r = 405/√(90·1834) = 0,9969

Odpowiedź

r = 0,9969

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 5

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 41/5 = 8,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

Prosta regresji

b = 48/40 = 1,2

a = 8,2 − 1,2·6 = 1

ŷ = 1 + 1,2·x

Wyznacz x

x = (7 − 1)/1,2 = 5

Odpowiedź

x = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1