Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 33, 33, 54, 22, 30, 41.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 90?

μ = 60σ = 15x = 90

P =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,35, 0,1

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €3. Wygrywasz €9 z prawdopodobieństwem 0,25 i €60 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €3€9: p = 0,25€60: p = 0,05

E(G) = €

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,1271. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,1271

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 95% wszystkich wartości (95. percentyl).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 96 i odchylenie standardowe s = 11. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 6x̄ = 96s = 1190%t(5) = 2,015

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,4 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 90 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,025?

p ≈ 0,4E = 0,02590%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 81 studentów ma średni wynik 49,2 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 49,2s = 4n = 81

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5? Odchylenie standardowe wynosi 4. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 4E = 0,599%

n =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5, 71). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(5, 71)

e =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 10,93

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 213/6 = 35,5

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−2,5)² + (−2,5)² + 18,5² + (−13,5)² + (−5,5)² + 5,5² = 597,5

Odchylenie standardowe

s = √(597,5/5) = 10,93

Odpowiedź

s = 10,93

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,02275

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Odpowiedź

P = 0,02275

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,9875

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,1 = 1,25

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,1 = 2,55

Wariancja

Var(X) = 2,55 − 1,25² = 0,9875

Odpowiedź

Var(X) = 0,9875

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 2,25 €

Wyniki netto

G: 6 (p = 0,25), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,7)

Wartość oczekiwana

E(G) = 6·0,25 + 57·0,05 − 3·0,7 = 2,25 €

Odpowiedź

E(G) = 2,25 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,14

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,1271 = 0,8729

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,8729 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,14

Odpowiedź

z = 1,14

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 41,87 min

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Powrót do x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Odpowiedź

x = 41,87 min

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 105

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margines błędu

E = 2,015·11/√6 = 9,049

Przedział

96 ± 9,049 → [86,95, 105]

Odpowiedź

górna granica = 105

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1040

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 1,645²·0,4·0,6/0,025² = 1039

Zaokrąglij w górę

n = 1040

Odpowiedź

n = 1040

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Statystyka testowa

t = (49,2 − 50)/0,4444 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 425

Wyznacz n

n = (2,576·4/0,5)² = 424,7

Zaokrąglij w górę

n = 425

Odpowiedź

n = 425

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9975

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 78,8

Współczynnik korelacji

r = −28/√(10·78,8) = −0,9975

Odpowiedź

r = −0,9975

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −4,271

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 519/6 = 86,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 393

Prosta regresji

b = 393/70 = 5,614

a = 86,5 − 5,614·7 = 47,2

ŷ = 47,2 + 5,614·x

Wartość przewidywana

ŷ = 47,2 + 5,614·5 = 75,27

Reszta

e = 71 − 75,27 = −4,271

Odpowiedź

e = −4,271

Punkt leży pod prostą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1