Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 30, 24, 44, 13, 60.

n = 6

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 74,8.

μ = 70σ = 12x = 74,8

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?

n = 8p = 0,2k = 3

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 77,5 a 103,75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 100σ = 15x₁ = 77,5x₂ = 103,75

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 95% wszystkich wartości (95. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 12 elementów ma średnią 46,5 i odchylenie standardowe s = 20. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 12x̄ = 46,5s = 2090%t(11) = 1,796

E =

8.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 7 poletek, średni plon 74 kg, odchylenie standardowe 2,5 kg. Grupa poletek 2: 5 poletek, średnia 71,5 kg, odchylenie standardowe 2,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 74s₁ = 2,5n₂ = 5x̄₂ = 71,5s₂ = 2,595%t(10) = 2,228

E = kg

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 51,16 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,16s = 4n = 100

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 75 z 300 pacjentów leczonych metodą A i 26 z 200 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 26n₂ = 200

z =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 18,22

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 225/6 = 37,5

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 16,5² + (−7,5)² + (−13,5)² + 6,5² + (−24,5)² + 22,5² = 1660

Odchylenie standardowe

s = √(1660/5) = 18,22

Odpowiedź

s = 18,22

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,4

Standaryzuj

z = (74,8 − 70)/12 = 0,4

Odpowiedź

z = 0,4

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 0,7

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Wariancja

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Odpowiedź

Var(X) = 0,7

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1468

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 3) = 56·0,2³·0,8⁵ = 56·0,008·0,3277 = 0,1468

Odpowiedź

P = 0,1468

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5319

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (77,5 − 100)/15 = −1,5

z₂ = (103,75 − 100)/15 = 0,25

Pole pomiędzy

P = Φ(0,25) − Φ(−1,5) = 0,5987 − 0,06681 = 0,5319

Odpowiedź

P = 0,5319

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 565,8 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Powrót do x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Odpowiedź

x = 565,8 h

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 10,37

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Margines błędu

E = 1,796·20/√12 = 10,37

Odpowiedź

E = 10,37

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 3,261 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (6·2,5² + 4·2,5²)/10 = 6,25

s_p = 2,5

Margines błędu

E = 2,228·2,5·√(1/7 + 1/5) = 3,261

Odpowiedź

E = 3,261 kg

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,9

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Statystyka testowa

t = (51,16 − 50)/0,4 = 2,9

Odpowiedź

t = 2,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = 3,274

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 75/300 = 0,25

p̂₂ = 26/200 = 0,13

p̂ = 101/500 = 0,202

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,202·0,798·(1/300 + 1/200)) = 0,03665

Statystyka testowa

z = (0,25 − 0,13)/0,03665 = 3,274

Odpowiedź

z = 3,274

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,6564

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 126/5 = 25,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −9

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 18,8

Współczynnik korelacji

r = −9/√(10·18,8) = −0,6564

Odpowiedź

r = −0,6564

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 53,2

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 274/5 = 54,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32

Prosta regresji

b = 32/10 = 3,2

a = 54,8 − 3,2·5 = 38,8

ŷ = 38,8 + 3,2·x

Prognoza

ŷ = 38,8 + 3,2·4,5 = 53,2

Odpowiedź

ŷ = 53,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1