Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 50, 29, 48, 49, 57, 44, 15.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 5. Wyznacz wynik z z dla wyniku 50.

μ = 60σ = 5x = 50

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,3

σ =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 10X − 3. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25Y = 10X − 3

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,8064. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,8064

z =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 95% wszystkich wartości (95. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 25 elementów ma średnią 18,5 i odchylenie standardowe s = 11. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 25x̄ = 18,5s = 1195%t(24) = 2,064

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 4?

σ = 24E = 499%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 81 studentów ma średni wynik 497,1 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,1s = 10n = 81

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ > 100 przeprowadza się na poziomie α = 0,01 na próbie o liczebności 64; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 20. W rzeczywistości średnia wynosi 103,75. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 100μ = 103,75σ = 20n = 64α = 0,01

β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 62?

n = 6ŷ = 62

x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,58

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 292/7 = 41,71

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 8,286² + (−12,71)² + 6,286² + 7,286² + 15,29² + 2,286² + (−26,71)² = 1275

Odchylenie standardowe

s = √(1275/6) = 14,58

Odpowiedź

s = 14,58

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −2

Standaryzuj

z = (50 − 60)/5 = −2

Odpowiedź

z = −2

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 11,61

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,1 + 40·0,3 = 24,5

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,1 + 1600·0,3 = 735

Wariancja

Var(X) = 735 − 24,5² = 134,8

σ = √134,8 = 11,61

Odpowiedź

σ = 11,61

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 101,4

Rozrzut X

μ = 26,5, Var(X) = 102,8, σ_X = 10,14

Zmiana liniowa

σ_Y = |10|·10,14 = 101,4

Odpowiedź

σ_Y = 101,4

Średnia się przesuwa: E(Y) = 10·26,5 − 3 = 262.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,3

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = (1 + 0,8064)/2 = 0,9032

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9032 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,30

Odpowiedź

z = 1,30

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 258,2 g

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Powrót do x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Odpowiedź

x = 258,22 g

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 13,96

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Margines błędu

E = 2,064·11/√25 = 4,541

Przedział

18,5 ± 4,541 → [13,96, 23,04]

Odpowiedź

dolna granica = 13,96

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 239

Wyznacz n

n = (2,576·24/4)² = 238,9

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 239

Odpowiedź

n = 239

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,61

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Statystyka testowa

t = (497,1 − 500)/1,111 = −2,61

Odpowiedź

t = −2,61

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 79,56 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 100 + 2,326·2,5 = 105,8

z przy prawdziwej średniej

z = (105,8 − 103,75)/2,5 = 0,826

Błąd II rodzaju

moc = P(Z > 0,826) = 20,44%

β = 100% − 20,44% = 79,56%

Odpowiedź

β = 79,56%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9868

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 91,2

Współczynnik determinacji

r² = −30²/(10·91,2) = 0,9868

Odpowiedź

r² = 0,9868

Około 98,68% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,355

Średnie

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 393/6 = 65,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53,5

Prosta regresji

b = 53,5/17,5 = 3,057

a = 65,5 − 3,057·5,5 = 48,69

ŷ = 48,69 + 3,057·x

Wyznacz x

x = (62 − 48,69)/3,057 = 4,355

Odpowiedź

x = 4,355

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1