Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 49, 53, 26, 35, 43, 49, 34.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 54,8.

μ = 50σ = 8x = 54,8

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 15 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 15k = 3

N =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 5. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,25Y = 5X + 5

σ_Y =

5.Rozkład normalnyŚredni

Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 6 z nich będzie mniejsza niż 148,8 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 148.8 kg

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 80% wszystkich wartości (80. percentyl).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = pkt

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 19,5 i odchylenie standardowe s = 8,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 21x̄ = 19,5s = 8,595%t(20) = 2,086

górna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 5 poletek, średni plon 20 kg, odchylenie standardowe 7 kg. Grupa poletek 2: 9 poletek, średnia 29,5 kg, odchylenie standardowe 5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 20s₁ = 7n₂ = 9x̄₂ = 29,5s₂ = 595%t(12) = 2,179

E = kg

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 16 studentów ma średni wynik 95,6 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 95,6s = 8n = 16

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ < 100 przeprowadza się na poziomie α = 0.05 na próbie o liczebności 25; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 12.5. W rzeczywistości średnia wynosi 95. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 100μ = 95σ = 12,5n = 25α = 0,05

β = %

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 18.

n = 6x = 18

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 9,878

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 289/7 = 41,29

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 7,714² + 11,71² + (−15,29)² + (−6,286)² + 1,714² + 7,714² + (−7,286)² = 585,4

Odchylenie standardowe

s = √(585,4/6) = 9,878

Odpowiedź

s = 9,878

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,6

Standaryzuj

z = (54,8 − 50)/8 = 0,6

Odpowiedź

z = 0,6

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 455

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Odpowiedź

N = 455

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 5,59

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 2,5, Var(X) = 1,25, σ_X = 1,118

Zmiana liniowa

σ_Y = |5|·1,118 = 5,59

Odpowiedź

σ_Y = 5,59

Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·2,5 + 5 = 17,5.

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1635

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Standaryzuj

z = (148,8 − 150)/1,225 = −0,98

Prawdopodobieństwo

P = Φ(−0,98) = 0,1635

Odpowiedź

P = 0,1635

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 112,6 pkt

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Powrót do x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 pkt

Odpowiedź

x = 112,62 pkt

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 23,37

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Margines błędu

E = 2,086·8,5/√21 = 3,869

Przedział

19,5 ± 3,869 → [15,63, 23,37]

Odpowiedź

górna granica = 23,37

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 6,982 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (4·7² + 8·5²)/12 = 33

s_p = 5,745

Margines błędu

E = 2,179·5,745·√(1/5 + 1/9) = 6,982

Odpowiedź

E = 6,982 kg

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −2,2

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Statystyka testowa

t = (95,6 − 100)/2 = −2,2

Odpowiedź

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 36,13 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 12,5/√25 = 2,5

x̄_c = 100 − 1,645·2,5 = 95,89

z przy prawdziwej średniej

z = (95,89 − 95)/2,5 = 0,355

Błąd II rodzaju

moc = P(Z < 0.355) = 63.87%

β = 100% − 63,87% = 36,13%

Odpowiedź

β = 36,13%

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9895

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 460/5 = 92

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1630

Współczynnik determinacji

r² = 254²/(40·1630) = 0,9895

Odpowiedź

r² = 0,9895

Około 98,95% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 61,73

Średnie

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 453/6 = 75,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 241

Prosta regresji

b = 241/70 = 3,443

a = 75,5 − 3,443·22 = −0,2429

ŷ = −0,2429 + 3,443·x

Prognoza

ŷ = −0,2429 + 3,443·18 = 61,73

Odpowiedź

ŷ = 61,73

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1