Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia
x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z
z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny
68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne
P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Rozkład normalny

Wynik z
z = (x − μ)/σ
Poniżej x
P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentyl
x = μ + z·σ

Metoda

  1. Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
  2. Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
  3. Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
  4. Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane
x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby
n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

  1. Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
  2. Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
  3. Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
  4. Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t dla średniej
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%
odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności
x̄ ± z·σ/√n

Metoda

  1. Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
  2. Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
  3. Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
  4. Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy
b = Sxy/Sxx
Wyraz wolny
a = ȳ − b·x̄
Korelacja
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reszta
e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni
2025303540455055

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 16, 58, 32, 26, 25, 42, 40.

n = 7
s =
2.Statystyka opisowaTrudny
z −2−1012

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 104?

μ = 100σ = 10x = 104
P =
3.PrawdopodobieństwoŚredni
n = 14k = 3N = ?

Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 14 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 14k = 3
N =
4.PrawdopodobieństwoTrudny
n = 10, p = 0,2: P(X ≤ 1) = ?k012345678910

Testuje się 10 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 10p = 0,2
P =
5.Rozkład normalnyŚredni
−3−2−10123zzacieniowane pole na prawo od z = 0,0606

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,0606. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,0606
z =
6.Rozkład normalnyTrudny
4 s0X − Y?

Czas okrążenia X biegacza A i czas okrążenia Y biegacza B są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 52 s i odchylenie standardowe 4 s, Y ma średnią 48 s i odchylenie standardowe 3 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Przedziały ufnościŚredni
n = 21, s = 1LUx̄ = 67E = ?90%

Próba 21 elementów ma średnią 67 i odchylenie standardowe s = 1. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 21x̄ = 67s = 190%t(20) = 1,725
E =
8.Przedziały ufnościTrudny
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,599%

Odchylenie standardowe populacji wynosi 24. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 24E = 0,599%
n =
9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
t −1,99801,998

Próba 64 studentów ma średni wynik 497,3 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,3s = 12n = 64
t =
10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
z −1,64501,645

Próba 16 pomiarów ma średnią 77,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 77,6σ = 5n = 1690%
L =
11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
xy1353485627659771189xy510406080

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6
r =
12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
xy344445548655755xy46455055ŷ = 51

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 51?

n = 5ŷ = 51
x =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 13,84

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 239/7 = 34,14

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−18,14)² + 23,86² + (−2,143)² + (−8,143)² + (−9,143)² + 7,857² + 5,857² = 1149

Odchylenie standardowe

s = √(1149/6) = 13,84

Odpowiedź

s = 13,84
2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,3446

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Odpowiedź

P = 0,3446
3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 364

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364

Odpowiedź

N = 364
4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3758

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,810 = 0,1074
P(X = 1) = 10·0,2·0,89 = 0,2684

Dodaj

P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Odpowiedź

P = 0,3758
5.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = 1,55

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,0606 = 0,9394

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,9394 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = 1,55

Odpowiedź

z = 1,55
6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7881

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standaryzuj

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Odpowiedź

P = 0,7881
7.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 0,3764

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margines błędu

E = 1,725·1/√21 = 0,3764

Odpowiedź

E = 0,3764
8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 15289

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (2,576·24/0,5)² = 15289

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 15289

Odpowiedź

n = 15289
9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,8

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Statystyka testowa

t = (497,3 − 500)/1,5 = −1,8

Odpowiedź

t = −1,8
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| < 1.998, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 75,54

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,645·5/√16 = 2,056

Granica przedziału

L = 77,6 − 2,056 = 75,54

Odpowiedź

L = 75,54
11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,991

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 376/6 = 62,67

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 360
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1885

Współczynnik korelacji

r = 360/√(70·1885) = 0,991

Odpowiedź

r = 0,991
12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 5,5

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 247/5 = 49,4

Sumy kwadratów i iloczynów

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32

Prosta regresji

b = 32/10 = 3,2
a = 49,4 − 3,2·5 = 33,4
ŷ = 33,4 + 3,2·x

Wyznacz x

x = (51 − 33,4)/3,2 = 5,5

Odpowiedź

x = 5,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1