Wstęp do statystyki: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 12 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

2Zadania do ćwiczenia

1.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 41, 43, 48, 52, 37, 10, 24.

n = 7

s =

2.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 176.

μ = 170σ = 15x = 176

z =

3.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,3, 0,15, 0,35

Var(X) =

4.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 6 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,25, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?

n = 6p = 0,25k = 1

P =

5.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 82,75 a 122,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 100σ = 15x₁ = 82,75x₂ = 122,5

P =

6.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,01 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Przedziały ufnościŚredni

Próba 8 elementów ma średnią 59 i odchylenie standardowe s = 4,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 8x̄ = 59s = 4,590%t(7) = 1,895

dolna granica =

8.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 14. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 14E = 0,590%

n =

9.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 100,6 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100,6s = 8n = 100

t =

10.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 64 pomiarów ma średnią 122. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 95 % dla średniej.

x̄ = 122σ = 10n = 6495%

U =

11.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 33Σy = 395Σx² = 199Σy² = 26401Σxy = 2251

r =

12.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Roztwory

1.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,68

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 255/7 = 36,43

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 4,571² + 6,571² + 11,57² + 15,57² + 0,5714² + (−26,43)² + (−12,43)² = 1294

Odchylenie standardowe

s = √(1294/6) = 14,68

Odpowiedź

s = 14,68

2.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 0,4

Standaryzuj

z = (176 − 170)/15 = 0,4

Odpowiedź

z = 0,4

3.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 5,31

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 0·0,2 + 2·0,3 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3,3

Średnia kwadratów

E(X²) = 0·0,2 + 4·0,3 + 16·0,15 + 36·0,35 = 16,2

Wariancja

Var(X) = 16,2 − 3,3² = 5,31

Odpowiedź

Var(X) = 5,31

4.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,356

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wzór dwumianowy

P(X = 1) = 6·0,25¹·0,75⁵ = 6·0,25·0,2373 = 0,356

Odpowiedź

P = 0,356

5.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8081

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15

z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Pole pomiędzy

P = Φ(1,5) − Φ(−1,15) = 0,9332 − 0,1251 = 0,8081

Odpowiedź

P = 0,8081

6.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8665

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

Odpowiedź

P = 0,8665

7.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 55,99

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margines błędu

E = 1,895·4,5/√8 = 3,015

Przedział

59 ± 3,015 → [55,99, 62,01]

Odpowiedź

dolna granica = 55,99

8.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2122

Wyznacz n

n = (1,645·14/0,5)² = 2122

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2122

Odpowiedź

n = 2122

9.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 0,75

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Statystyka testowa

t = (100,6 − 100)/0,8 = 0,75

Odpowiedź

t = 0,75

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

10.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 124,5

Margines błędu

E = 1,96·10/√64 = 2,45

Granica przedziału

U = 122 + 2,45 = 124,5

Odpowiedź

U = 124,5

11.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,942

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 2251 − 33·395/6 = 78,5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 26401 − 395²/6 = 396,8

Współczynnik korelacji

r = 78,5/√(17,5·396,8) = 0,942

Odpowiedź

r = 0,942

12.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 29,95

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 101/5 = 20,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

Prosta regresji

b = 130/40 = 3,25

a = 20,2 − 3,25·6 = 0,7

ŷ = 0,7 + 3,25·x

Prognoza

ŷ = 0,7 + 3,25·9 = 29,95

Odpowiedź

ŷ = 29,95

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1